La curvatura seccional de los espacios simétricos de rango uno se pellizca

Question

En el Apéndice 5 de la obra de Ballmann, Gromov y Schroeder Múltiples de curvatura no positiva Schroeder menciona que para un espacio simétrico de rango uno de tipo no compacto, $-1 \leq K \leq -\frac{1}{4}$ (posiblemente después de reescalar la métrica, por supuesto) donde $K$ es la curvatura de la sección.

No he sido capaz de encontrar una referencia para este hecho, así que si alguien conoce una, sería genial. También me valdría una referencia para el hecho de que la curvatura seccional para un espacio simétrico de rango uno de tipo compacto es $\frac{1}{4} \leq K \leq 1$ .

Supongo que como sólo hay unas pocas familias de espacios simétricos no compactos de rango uno, se podría calcular caso por caso, pero quizá haya una prueba general que alguien pueda indicarme. Gracias.

Answer 1

Buena pregunta. Estos resultados son sorprendentemente difíciles de encontrar. (Los libros de Helgason y de Eberlein, que son referencias estándar para la geometría de los espacios simétricos, no contienen los resultados).

1. Para los espacios simétricos compactos de rango 1 (CROSSes), el quater-pinching se demuestra en

Chavel, Isaac , Sobre los espacios simétricos riemannianos de rango uno Adv. Math. 4, 236-263 (1970). ZBL0199.56403 .

2. Para los espacios simétricos de curvatura negativa, se ha demostrado la existencia de un cuarto de pulgada en

Heintze, Ernst , Sobre las variedades homogéneas de curvatura negativa , Matemáticas. Ann. 211, 23-34 (1974). ZBL0273.53042 .

Lo más probable es que se puedan encontrar referencias incluso anteriores (probablemente rebuscando en los documentos de Elie Cartan).