Si se considera un operador diferencial estándar $B$ trabajando en funciones definidas en $\mathbb R^n$ como $\partial/\partial x_i$ o un polinomio de derivadas parciales, y elegir una función suficientemente suave $f$ desapareciendo en un barrio $\Omega$ , se ve que también $Bf$ se desvanece en él. Esta es la noción relevante de localidad para los operadores.
En el lado derecho de la ecuación que has escrito aparece un operador que no cumple la localidad en el sentido que he dicho. Esa ecuación es, de hecho, la ecuación que satisfacen las soluciones de energía positiva de la ecuación de Klein-Gordon.
El operador en el lado derecho no puede definirse mediante una expansión formal de Taylor (sólo funciona formalmente), sino que hay que utilizar la teoría espectral. En el caso considerado es equivalente a traducir esa ecuación en transformada de Fourier.
La no localidad surge aquí debido a una propiedad conocida del operador $A:= \sqrt{-\Delta + aI}$ y, en general, para $(\Delta + aI)^\nu$ con $\nu \not \in \mathbb Z$ . Esta propiedad se llama anti localidad (I.E. Segal, R.W. Goodman, J. Math. Mech. 14 (1965) 629) y está relacionado con el famoso Propiedad de Reeh y Schlieder en QFT.
La antilocalidad significa que si ambos $f$ y $Af$ desaparecen en una región delimitada $\Omega \subset \mathbb R^3$ entonces $f$ es en todas partes cero.
Si $f$ tiene soporte incluido en un conjunto abierto acotado $\Omega$ entonces, notablemente y muy diferente a lo que ocurre con los operadores diferenciales estándar , $Af$ no desaparece idénticamente en el exterior $\Omega$ De lo contrario, $f$ sería la función cero en todas partes.
