Conjunto de Julia suave para polinomios cuadráticos

Question

Esta cuestión está relacionada con una clasificación de los mapas racionales en términos de propiedades de su conjunto de Julia.

Dejemos que $f= z^2 + c$ con $c\in \mathbb{C}$ sea un polinomio cuadrático tal que su conjunto Julia $J(f)$ está conectado.

• P1: Si existe un conjunto relativamente abierto de $J(f)$ que es (el soporte de) una curva suave. Es $f$ conjugado (resp igual) a un polinomio de Tchebychev o mapa de potencia $z^2$ ?
• P2: ¿Es la respuesta a P1 afirmativa bajo el supuesto adicional de que $J(f)$ ¿también está conectado localmente?
• P3: Si la respuesta a P1 es no, ¿se puede describir el conjunto de tales contraejemplos en términos del parámetro $c$ ?

Muchas gracias.

Answer 1

La respuesta a la letra a) es afirmativa, y así lo demostró Fatou en 1919. Sobre las ecuaciones funcionales Bulletin de la S. M. F., tomo 48 (1920), p. 208-314 . Hay muchas generalizaciones de este hecho. Para una generalización, y otras referencias, puede consultar Funciones meromórficas con valores linealmente distribuidos y conjuntos de Julia de funciones racionales, Proc. AMS. 137 (2009), 2329-2333.

Answer 2

Desde este trabajo de Bedford y Kim (enlace arxiv):

Fatou demostró que si el conjunto Julia $J$ es una curva suave, entonces $J$ es el círculo unitario, o $J$ es un intervalo real. Si $J$ es el círculo, entonces $f$ equivale a $z → z^d$ , donde $d$ es un número entero con $|d| ≥ 2$ ; si $J$ es el intervalo, entonces $f$ es equivalente a un polinomio de Chebyshev.