$A \otimes_k A \to \bigwedge^2 A$ homs

Question

Dejemos que $k$ sea un anillo conmutativo unital, y A sea un $k$ -módulo. ¿Existe un homomorfismo $f: A \otimes_k A \to \bigwedge^2 A$ tal que $f(a \otimes a) \neq 0$ para algunos $a \in A$ ? Entiendo la indirecta :)

Motivación : En su libro de texto sobre el álgebra de Lie, Serre define un álgebra de Lie como un módulo k con un homomorfismo $A \otimes_k A \to A$ que los factores a través de $\Lambda^2 A$ . A continuación, explica que significa que [x,x]=0 para todo $x \in A$ .

Answer 1

Lo que Serre quiere decir es lo siguiente. Probablemente sabes que el cuadrado tangente $A \otimes_k A$ es universal para $k$ -mapas bilineales fuera de $A \times A$ . El cuadrado exterior $\Lambda^2 A$ es universal para alternando $k$ -mapas bilineales fuera de $A \times A$ . Cualquier mapa de este tipo es, en primer lugar, un $k$ -mapa bilineal, por lo que es un factor a través de $A \otimes_k A$ . Pero la propiedad de alternancia hace que sea un factor más a través de la natural cociente $A \otimes_k A \to \Lambda^2 A$ . Serre tiene en mente un mapa específico aquí.

Answer 2

Esta respuesta no es más relevante, ya que el OP ahora preguntó (en un comentario...) lo que había querido preguntarm que resulta que no es lo que preguntó :)

Evidentemente, existen ejemplos de $k$ s y $A$ s tales que tales homomorfismos existen (tomemos, por ejemplo, $A$ libre de rango al menos $2$ en $k$ ...)

Ahora bien, no es cierto que tales homomorfismos existan para todas las elecciones de $k$ y $A$ (por ejemplo, $A$ libre de rango $1$ ...)

Sin embargo, no estoy seguro de que ninguno de estos hechos sea lo que usted pretendía preguntar.

Más tarde: una cosa que podría haber pretendido preguntar si existe tal homomorfismo en función de naturalmente en $A$ . La respuesta a esto también es no, debido a mi segundo ejemplo anterior.