He estado trabajando mucho en este límite: $$(n^6 + n^5 + n^4)^{1/6} - n$$ a medida que n llega al infinito. No tengo ni idea de lo que tengo que hacer. Siempre obtengo formas indeterminadas.
Respuestas
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Observe que $$(n^6 + n^5 + n^4)^{1/6} - n = n(1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2})^{1/6} - n$$ Utilice el hecho de que el primer término de la serie de Taylor de $$(1+ x)^{\alpha} \sim 1 + \alpha x$$ en los alrededores de $0$ . Esto significa que podemos elegir $x = \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}$ y $\alpha = \frac{1}{6}$ para decir que la primera ecuación se comporta como $$(n^6 + n^5 + n^4)^{1/6} - n \sim n(1 + \frac{1}{6}(\frac{1}{n} + \frac{1}{n^2})) - n$$ Ahora, obtenemos
$$(n^6 + n^5 + n^4)^{1/6} - n \sim \frac{n}{6}(\frac{1}{n} + \frac{1}{n^2})$$ que finalmente da $$(n^6 + n^5 + n^4)^{1/6} - n \sim \frac{1}{6}$$ para grandes $n$ .
Stephan Aßmus
Puntos
16
$$ \left( n + \frac{1}{6} \right)^6 < n^6 + n^5 + n^4 < \left( n + \frac{1}{6}+ \frac{7}{72n} \right)^6 $$ $$ $$ $$ $$ $$ \left( n + \frac{1}{6} \right)^6 = n^6 + n^5 + \frac{5 n^4}{12} + \frac{5n^3}{54} + \frac{5n^2}{432} + \frac{n}{1296} + \frac{1}{46656} $$ Tenga en cuenta que, para $n \geq 1,$ esto es más pequeño que $n^6 + n^5 + n^4$ $$ $$
$$ \left( n + \frac{1}{6} \right)^6 = n^6 + n^5 + \frac{5 n^4}{12} \;+ \;\mbox{lower degree} $$
$$ \left( n + \frac{1}{6} \right)^5 = n^5 + \frac{5 n^4}{6} \;+ \;\mbox{lower degree} $$
$$ \left( n + \frac{1}{6}+ \frac{7}{72n} \right)^6 = \left( n + \frac{1}{6} \right)^6 + 6 \left( n + \frac{1}{6} \right)^5 \; \frac{7}{72n} + \mbox{lower degree} $$ $$ \left( n + \frac{1}{6}+ \frac{7}{72n} \right)^6 = \left( n + \frac{1}{6} \right)^6 + \frac{7}{12n} \; \left( n + \frac{1}{6} \right)^5 \;+ \mbox{lower degree} $$
$$ \left( n + \frac{1}{6}+ \frac{7}{72n} \right)^6 = n^6 + n^5 + \frac{5 n^4}{12}+ \mbox{lower degree} + \frac{7 n^4}{12}+ \mbox{lower degree} $$ $$ \left( n + \frac{1}{6}+ \frac{7}{72n} \right)^6 = n^6 + n^5 + n^4 + \mbox{lower degree} $$
