¿Cuál es el resto cuando $x^{7} + x^{27} + x^{47} +x^{67} + x^{87}$ se divide por $x ^ 3 - x$

Question

¿Cuál es el resto cuando $x^{7} + x^{27} + x^{47} +x^{67} + x^{87}$ se divide por $x ^ 3 - x$ en términos de $x$ probé con el factoring $x$ de ambos polinomios pero no sé qué hacer después ya que habría un $1$ en el segundo polinomio. Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Módulo $x^3-x$ tenemos $x^3=x$ así que $x^{2n+1}=x$ para cualquier número entero $n\ge 0$ (un ejercicio de inducción trivial). Por lo tanto, su suma deja un resto $5x$ .

Answer 2

Deje que su $87$ -polinomio de grado 0 sea $P(x)$ . Debes encontrar $Q(x)=ax^2+bx+c$ donde $$P(x)=(x^3-x)D(x)+Q(x).$$ Entonces: $$5=P(1)=0\cdot D(1)+Q(1)\implies Q(1)=5;\\ 0=P(0)=0\cdot D(0)+Q(0)\implies Q(0)=0;\\ -5=P(-1)=0\cdot D(-1)+Q(-1)\implies Q(-1)=-5.$$ Desde $Q(0)=0$ es fácil de ver $c=0$ . Usando esto y las otras 2 condiciones, tenemos: $$a+b=5,\quad a-b=-5\implies a=0,\quad b=5.$$ En resumen $Q(x)=5x$ .

Answer 3

$xf(x^2)\,\bmod\, x(x^2\!-\!1)\, =\, x\,(\overbrace{f(\color{#c00}{x^2})\,\bmod\, x^2\!-\!1}^{\color{#c00}{\Large x^2\ \equiv\,\ 1}})\, =\, xf(\color{#c00}{ 1})\, =\, 5x$

Answer 4

$$P(x)=x^{7} + x^{27} + x^{47} +x^{67} + x^{87}=x(x-1)(x+1)q(x) + r(x)$$

Tenga en cuenta que tenemos $r(1)= P(1)$ , $r(0)= P(0)$ y $r(-1)=P(-1)$ .

Podemos encontrar $$r(x)=x^2+ax+b =5x$$ utilizando la información anterior.

Answer 5

Haciendo divisiones largas: $$P(x)=\frac{x^{7} + x^{27} + x^{47} +x^{67} + x^{87}}{x^3-x}=\frac{x^{86}+x^{66}+x^{46}+x^{26}+x^6}{x^2-1}=\\ \frac{\sum_{i=0}^{9}(x^{86-2i}-x^{84-2i})+2\sum_{i=0}^{9}(x^{66-2i}-x^{64-2i})+3\sum_{i=0}^{9}(x^{46-2i}-x^{44-2i})+4\sum_{i=0}^{9}(x^{26-2i}-x^{24-2i})+5\sum_{i=0}^{2}(x^{6-2i}-x^{4-2i})+5}{x^2-1}=\\ Q(x)+\frac{5}{x^2-1}=Q(x)+\frac{5x}{x^3-x}.$$