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Demostración del lema de Gauss (versión de geometría riemanniana)

Estaba aprendiendo de forma autodidacta la Geometría Riemanniana de Do Carmo, hay un paso en la demostración del Lemma de Gauss que no consigo entender.

Desde $d\,\exp_p$ es lineal y, por la definición de $\exp_p$ , $$ \langle (d\,\exp_p)_v(v),(d\,\exp_p)_v(w_T)\rangle=\langle v,w_T\rangle. $$

Así que entré en la wikipedia con la esperanza de encontrar algo que pueda ayudarme a resolver esto.

Encontré algo. AQUÍ . Dice que $(d\,\exp_p)_v(v)=v$ . Para ello, construye esa curva $\alpha(t)$ con $\alpha(0)=v$ , $\alpha'(0)=v$ . Y da $\alpha(t)=(t+1)v$ . Estoy de acuerdo con todo esto. Entonces argumenta que se puede ver $\alpha (t)=vt$ ya que es sólo un cambio de parametrización. Bien. Estoy de acuerdo con eso. Pero en este caso, ¿debería $(d\,\exp_p)_v(v)={d\over dt}(\exp_po \alpha(t))|_{t=1}$ en lugar de evaluar la derivada en $t=0$ como se argumenta en la wiki?

Además, me encontré realmente incómodo con todo el abuso de las notaciones en Geometría Diferencial. Como aquí, la identificación de la $T_p M$ y $T_v(T_p M)$ me asusta. ¿Significa esto que cuando se elige un sistema de coordenadas local, $T_p M$ bajo la base natural será la misma que $R^n$ y lo mismo ocurre con $T_v (T_p M)$ ?

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La ecuación que cita en combinación con el razonamiento que cita, también, se utiliza en do Carmo sólo para $w_T$ en paralelo a $v$ . De lo contrario, la ecuación seguiría siendo correcta (ese es el contenido del lema de Gauss) pero requiere una justificación diferente (como se presenta más adelante en Do Carmo).

Si $w_T$ es paralelo a $v$ entonces $\exp_p(tw)$ es sólo una parametrización de la geodésica a través de $p$ en la dirección $v$ con velocidad constante $|w|$ (aquí es donde la definición de $\exp$ ) y la derivada en su fórmula puede ser calculada como la derivada de esta geodésica con respecto a $t$ por lo que es simplemente el vector tangente a esa geodésica de longitud $|w|$ en el punto que se examina.

El "abuso" de la notación en la forma en que lo describes es bastante común en la Geometría Diferencial siempre que sea posible, porque de lo contrario las ecuaciones suelen ser bastante torpes. Se puede encontrar una notación (ligeramente) más formal, por ejemplo, en la Geometría Riemanniana de Klingenberg.

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