Estaba aprendiendo de forma autodidacta la Geometría Riemanniana de Do Carmo, hay un paso en la demostración del Lemma de Gauss que no consigo entender.
Desde $d\,\exp_p$ es lineal y, por la definición de $\exp_p$ , $$ \langle (d\,\exp_p)_v(v),(d\,\exp_p)_v(w_T)\rangle=\langle v,w_T\rangle. $$
Así que entré en la wikipedia con la esperanza de encontrar algo que pueda ayudarme a resolver esto.
Encontré algo. AQUÍ . Dice que $(d\,\exp_p)_v(v)=v$ . Para ello, construye esa curva $\alpha(t)$ con $\alpha(0)=v$ , $\alpha'(0)=v$ . Y da $\alpha(t)=(t+1)v$ . Estoy de acuerdo con todo esto. Entonces argumenta que se puede ver $\alpha (t)=vt$ ya que es sólo un cambio de parametrización. Bien. Estoy de acuerdo con eso. Pero en este caso, ¿debería $(d\,\exp_p)_v(v)={d\over dt}(\exp_po \alpha(t))|_{t=1}$ en lugar de evaluar la derivada en $t=0$ como se argumenta en la wiki?
Además, me encontré realmente incómodo con todo el abuso de las notaciones en Geometría Diferencial. Como aquí, la identificación de la $T_p M$ y $T_v(T_p M)$ me asusta. ¿Significa esto que cuando se elige un sistema de coordenadas local, $T_p M$ bajo la base natural será la misma que $R^n$ y lo mismo ocurre con $T_v (T_p M)$ ?