Ejemplo de morfismo ramificado y no ramificado de anillos

Question

Dejemos que $A$ , $B$ sean anillos locales noetherianos. Un homomorfismo local $A \to B$ se dice que es un homomorfismo no ramificado de anillos locales si

• $\mathfrak m_AB = \mathfrak m_B$ ,
• $\kappa(\mathfrak m_B)$ es una extensión separable finita de $\kappa(\mathfrak m_A)$
• $B$ es esencialmente de tipo finito sobre $A$ .

Entiendo cada punto de la definición de un morfismo no ramificado de anillos. Pero no puedo crear un ejemplo para un morfismo ramificado y uno no ramificado para el caso de que $A$ y $B$ son anillos polinómicos sobre $\mathbb C$ .

Answer 1

$A$ y $B$ no pueden ser anillos polinómicos, porque se supone que son locales. Se puede considerar la extensión del anillo $R:=\mathbb{C}[x^2]\subset\mathbb{C}[x]=:S$ , donde $x$ es un indeterminado. Esta extensión del anillo es finita.

Entonces el ideal principal $(x^2)$ de $R$ es máxima y $(x^2)S$ no es primo pero está contenido en el ideal máximo $(x)$ . Por lo tanto, $A:=R_{(x^2)}\subset S_{(x)}=:B$ es una extensión ramificada.

El ideal principal $(x^2-1)$ es máxima en $R$ y $(x-1)$ es máxima en $S$ . Ahora considere $A:=R_{(x^2-1)}$ y $B:=S_{(x-1)}$ . Entonces $(x^2-1)B=(x-1)B$ porque $x+1$ es una unidad en $B$ .

Nótese que la extensión del campo de residuos (condición 2) es trivial en ambos casos, porque $\mathbb{C}$ es algebraicamente cerrado.