Cómo demostrar la secuencia de $p_n(x)$ ¿son todos polinomios enteros en x?

Question

Para $x \in \mathbb R ,|x|< \frac12$ definir:

$A_n(x)$ solución de la relación:

$A_{n+1}(x) = \frac{x^2}{1-A_n(x)}$

$A_0(x) = 0$

(He encontrado que $A_n(x) = 2x^2 \cdot \frac{(1+\sqrt{1-4x^2})^n - (1 - \sqrt{1-4x^2})^n}{(1+\sqrt{1-4x^2})^{n+1} - (1 - \sqrt{1-4x^2})^{n+1}}$ )

demostrar que la secuencia

$p_0(x)=1$

$p_{n+1}(x) = p_n(x) \cdot (1-x^2 - A_n(x))$

consiste en polinomios enteros en $x$

Answer 1

Voy a esbozar una solución asumiendo la relación dada por el OP para $A_n$ que parece correcto. Primero algunas notaciones para simplificar las cosas: dejemos que $c=\sqrt{1-4x^2}$ y $Y_{1,2}=\frac{1 \pm c}{2}$ . Primero demostraremos que:

$Y_1^n-Y_2^n=cQ_n(x)$ donde $Q_n(x), n \ge 0$ es un polinomio integral en $x$

Desde $Y_{1,2}$ son las raíces de la ecuación $Y^2-Y+x^2=0$ se deduce por las relaciones de Newton que cualquier polinomio simétrico $\sigma(Y_1,Y_2)$ es un polinomio integral en $x$ y como $Y_1-Y_2=c$ la afirmación anterior se deduce al factorizar $Y_1^n-Y_2^n$

Pero ahora $1-A_{n+1}(x) = \frac{1-A_n(x)-x^2}{1-A_n(x)}$ implica $(1-A_{n+1}(x))(1-A_{n}(x))=\frac{p_{n+1}(x)}{p_n(x)}$ . Observando que también $1-A_{n}(x)=\frac{x^2}{A_{n+1}(x)}$ obtenemos:

$\frac{p_{n+1}(x)}{p_n(x)}=\frac{x^2}{A_{n+2}} \frac{x^2}{A_{n+1}}$ así que multiplicando estas relaciones nos da:

$p_{n+1}(x)=\Pi_{k=2}^{k=n+2}\frac{x^2}{A_k(x)}\Pi_{k=1}^{k=n+1}\frac{x^2}{A_k(x)}$

Según el cálculo de la OP $\frac{x^2}{A_k(x)}=\frac{Y_1^{k+1}-Y_2^{k+1}}{Y_1^k-Y_2^k}$ ,

que da inmediatamente:

$p_{n+1}(x)=\frac{Y_1^{n+3}-Y_2^{n+3}}{Y_1^2-Y_2^2}\frac{Y_1^{n+2}-Y_2^{n+2}}{Y_1-Y_2}$

Ahora $Y_1-Y_2=c, Y_1^2-Y_2^2=c$ Así que..:

$p_{n+1}(x)=Q_{n+3}(x)Q_{n+2}(x)$ ¡integral por lo que hemos terminado!

Answer 2

Considere la secuencia $B_n(x)$ tal que $$\tag1 B_n(x)=B_{n-1}(x) -x^2B_{n-2}(x)$$ con $B_0(x)=0$ , $B_1(x)=1$ .

Claramente $B_n(x)$ es un polinomio con coeficientes enteros. Entonces la fórmula de Binet muestra que $$ B_n(x) = \frac {(1+\sqrt{1-4x^2})^n - (1 - \sqrt{1-4x^2})^n}{2^n}$$ y luego $$ A_n(x) = x^2\frac {B_n(x)}{B_{n+1}(x)}.$$ (Demostrar con ayuda de (1) que los rhs de lo anterior satisfacen la recurrencia original, con la misma condición inicial).

Entonces, con la ayuda de (1), podemos ver que $$ 1-x^2-A_n(x) =\frac {B_{n+3}(x)}{B_{n+1}(x)}$$ y finalmente por inducción podemos demostrar que $$p_n(x)=B_{n+1}(x)B_{n+2}(x)$$ que también es un polinomio con coeficientes enteros.