1 votos

Evaluación de $\displaystyle \int \sec^3 (x)dx$

Cómo puedo evaluar $\displaystyle \int \sec^3 (x)dx$

(Sin usar Weierstrass Sustitución o integración por partes).

$\bf{My\; Try::}$ Dejemos que $\displaystyle I = \int\sec^3(x)dx = \int \frac{1}{\cos^3(x)}dx = \int \frac{1}{\sin ^3\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}dx$

Ahora dejemos $\displaystyle \left(\frac{\pi}{2}-x\right) = t\;,$ Entonces $\displaystyle dx = -dt$ . Así que $\displaystyle I = -\int \frac{1}{\sin^3 t}dt = -\int\frac{1}{2\sin^3\left(\frac{t}{2}\right)\cdot \cos^3 \left(\frac{t}{2}\right)}dt$

Ahora ¿Cómo puedo resolver después de eso

Ayúdame

Gracias

6voto

Mike Puntos 9379

Si no te importan las fracciones parciales, puedes simplemente reescribir tu integral como

$$\int\frac{\cos x}{\cos^4x}dx=\int\frac{\cos x}{(1-\sin^2x)^2}dx$$

entonces sustituye $u=\sin x$ .

4voto

user157227 Puntos 1100

Una pista:

Substitite

$$\sec (x)= \cosh (u) $$

$$\tan(x) = \sinh(u)$$

$$\sec^2 (x) \, \mathrm dx = \cosh (u) \,\mathrm du$$

$$\mathrm dx = \frac1{\cosh(u)} \, \mathrm du$$

Edición: ¿Por qué ha sido votado negativamente?

Este es el proceso completo

$$\begin{align} \int \sec^3 x \, \mathrm dx &{}= \int \cosh^2 u\,\mathrm du \\ &= \frac{1}{2}\int ( \cosh 2u +1) \,\mathrm du \\ &= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2}\sinh2u + u\right) + C\\ &= \frac{1}{2} ( \sinh u \cosh u + u ) + C \\ &= \frac{1}{2} \sec x \tan x + \frac{1}{2} \ln|\sec x + \tan x| + C \end{align} $$

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X