$\sum x_{k}=1$ entonces, ¿cuál es el valor máximo de $\sum x_{k}^{2}\sum kx_{k} $

Question

Sea $1\geq x_{1}\geq x_2\geq\cdots\geq x_{n}\geq0$ y $\sum\limits_{k=1}^{n}x_{k}=1$ . entonces ¿cuál es el valor máximo de ? $$\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2}\sum_{k=1}^{n}kx_{k} .$$

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Creo que, tal vez podríamos intentar Desigualdad de reordenación

o

deje $x_n=a_n,x_{n-1}=a_n+a_{n-1} , \dotsc, x_1=a_1+a_2+\dotsc+a_n$

donde $a_i\geq0$

Estoy muy agradecido por cualquier ayuda

EDITAR : Lo siento mucho, $1$ no es el límite superior de todos los $n$ pero supongo $\sum\limits_{k=1}^{n}x_{k}^{2}\sum\limits_{k=1}^{n}kx_{k}\lt2 .$

Para $n=5$ $$x_1=0.926599, x_2=x_3=x_4=x_5=0.0183503$$ LHS $=1.01773\gt 1$

Answer 1

Esta función no tiene un único máximo independiente de $n$ dadas las restricciones. Elija

$$X = \left(1-t,\frac{t}{n-1},\ldots,\frac{t}{n-1}\right)$$

con $n$ elementos y $0 \leq t \leq 1/2$ . Claramente $X$ satisface sus restricciones. Ahora

$$g(X) = 2(n-1)f(X) = ((n-1)(1-t)^2+t^2)(2(1-t)+(n+2)t)$$

y ambos $g$ y $f$ alcanzar un máximo global para el mismo $t$ dadas las restricciones. Tomando la primera derivada de $g(X)$ por ejemplo $t$ y poniéndola a 0 se obtiene la ecuación

$$2n^2t^2-4n(n-2)t+(n-1)(n-4) = 0$$

con soluciones

$$t_{\pm} = \frac{2n-4\pm \sqrt{n^2-n+4}}{3n}$$

$t_{+}$ es demasiado grande a $n > 2$ y $t_{-1}$ se convierte en positivo cuando $n>4$ . Además $t_{-1} < 1/2$ para todos $n>4$ y

$$\lim_{t\to \infty} t_{-1} = \frac{1}{3}$$

Por lo tanto, es una sustitución válida para $t$ para $n > 4$ . Tras algunas simplificaciones obtenemos

$$f_{max} \ge \frac{(n+1)(n^2+11n-8)+(n^2-n+4)^{3/2}}{27n(n-1)}$$

y esta cantidad va a infinito a medida que n va a infinito. Por lo tanto, un límite simple como $f_{max} \leq 1$ o $f_{max} \leq 2$ no será suficiente. De hecho, la cantidad hasta ahora es asintótica a

$$\frac{(n+1)(n^2+11n-8)+(n^2-n+4)^{3/2}}{27n(n-1)} \sim \frac{2n}{27}$$

por lo que por ahora se espera un límite de $f_{max} \ge cn$ para alguna constante $c$ .

EDITAR : Tenga en cuenta que

$$1 = \sum_k x_k \ge n x_n$$

así que $x_n \leq \frac{1}{n}$ . En el caso que he descrito $x_n \sim \tfrac{1}{3n}$ como $n\to \infty$ . Por lo tanto, queda algo de distancia entre el caso que he descrito y el máximo posible.

EDITAR 2 : Creo que el máximo viene dado por la expresión para $f_{max}$ arriba.

Answer 2

Esta no es una respuesta completa, pero es un poco demasiado larga para lo habitual formato de comentario. A continuación se muestra una prueba de $n=3$ (lo que implica el resultado para cualquier $n\leq 3$ ).

Siguiendo la sugerencia del comentario de Winther, digamos que $\delta\geq 0$ , donde

$$ \delta=(x_1+x_2+x_3)^3-(x_1^2+x_2^2+x_3^2)(x_1+2x_2+3x_3) \tag{1} $$

Si ponemos $d_i=x_i-x_{i+1} (i=1,2)$ tenemos $d_i\geq 0$ . El resultado se deduce de

$$ \delta=x_2(x_1^2+x_2(x_1+d_1))+x_3(6x_1x_2+x_3(x_1+d_1+2d_2)) \tag{2} $$

Obsérvese que la igualdad se alcanza exactamente cuando $x_2=x_3=0$ .