Si $X$ tiene media $3$ y la varianza $8$ , encontrar $E\left[(3 + 2X)^2\right]$ y $E(4 + 7X)$ .

Question

Esta pregunta me desconcierta y mi libro de texto no incluye ninguna solución, ni ningún ejemplo relacionado con este tipo de preguntas por lo que cualquier ayuda en una solución sería genial

Si $X$ tiene media $3$ y la varianza $8$ , encontrar $E\left[(3 + 2X)^2\right]$ y $E(4 + 7X)$ .

Answer 1

insinuación: ampliar todo, utilizar la linealidad de $E$ y las relaciones $$ E[1] = 1\\ \text{var }X = E[X^2] - E[X]^2 $$

Answer 2

Por la linealidad de $E$ , $$\begin{align} E[(3+2X)^2]&=E[9+12X+4X^2]\\& = E[9]+E[12X]+E[4X^2]\\&=9+12E[X]+4E[X^2].\end{align}$$ Recordemos que $$V[X] = E[X^2]-E[X]^2. $$

Answer 3

Ya lo sabes:

$$E[X]=3$$

y

$$Var[X]=E[X^2]-E[X]^2=8$$

Así que

$$E[X^2]=17$$

Ahora, utilizando la linealidad de $E$ que tienes:

$$E[(3+2X)^2]=E[9+12X+4X^2]=9E[1]+12E[X]+9E[X^2]=9+12 \cdot 3 + 9 \cdot 17$$

$$E[4+7X]=4E[1]+7E[X]=4+7 \cdot 3.$$