Fourier transformando la ecuación de Klein Gordon

Question

Empezando con el Klein Gordon en el espacio de posición, \begin {alineado*} \left ( \frac { \partial ^2}{ \partial t^2} - \nabla ^2+m^2 \right ) \phi ( \mathbf {x},t) = 0 \end {alineado*} Y usando la Transformada de Fourier: $ \displaystyle\phi ( \mathbf {x},t) = \int \frac {d^3p}{(2 \pi )^3}e^{i \mathbf {p} \cdot\mathbf {x}} \phi ( \mathbf {p},t)$ : \begin {alineado*} \int \frac {d^3p}{(2 \pi )^3} \left ( \frac { \partial ^2}{ \partial t^2} - \nabla ^2+m^2 \right )e^{i \mathbf {p} \cdot\mathbf {x}} \phi ( \mathbf {p},t)&=0 \\ \int \frac {d^3p}{(2 \pi )^3}e^{i \mathbf {p} \cdot\mathbf {x}} \left ( \frac { \partial ^2}{ \partial t^2} +| \mathbf {p}|^2+m^2 \right ) \phi ( \mathbf {p},t)&=0 \end {alineado*} Ahora no entiendo por qué somos capaces de deshacernos de la integral, de quedarnos con \begin {alineado*} \left ( \frac { \partial ^2}{ \partial t^2} +| \mathbf {p}|^2+m^2 \right ) \phi ( \mathbf {p},t)=0 \end {alineado*}

Answer 1

Las funciones $e^{i \bf p \cdot \bf x}$ como funciones de $ \bf x$ son linealmente independientes para diferentes $ \bf p$ por lo que cada coeficiente en la superposición lineal (es decir, en la integral) debe ser cero.

Answer 2

La razón por la que puedes deshacerte de la integral y la exponencial se debe a la singularidad de la transformación de Fourier. Explícitamente tenemos,

\begin {alinear} \int \frac (2) \pi )^3 } e ^{ i { \mathbf {p}} \cdot { \mathbf {x}} } \left ( \partial _t ^2 + { \mathbf ^2 + m ^2 \right ) \phi ( { \mathbf {p} , t ) & = 0 \\ \int d ^3 x \frac (2) \pi )^3 } e ^{ i ( { \mathbf {p}} - { \mathbf {p}} ' ) \cdot { \mathbf {x}} } \left ( \partial _t ^2 + { \mathbf ^2 + m ^2 \right ) \phi ( { \mathbf {p} , t ) & = 0 \\ \left ( \partial _t ^2 + { \mathbf {p}} ^{ \prime 2} + m ^2 \right ) \phi ( { \mathbf {p}'} , t ) & = 0 \end {alinear} donde hemos usado,

\begin {ecuación} \int d ^3 x e ^{- i ( { \mathbf {p}} - { \mathbf {p}} ' ) \cdot x } = \delta ( { \mathbf {p}} - { \mathbf {p}} ' ) \end {ecuación} y \begin {ecuación} \int \frac { d ^3 p }{ (2 \pi )^3 } \delta ( { \mathbf {p}} - { \mathbf f ( { { \mathbf {p} ) = f ( { { \mathbf {p}} ' ) \end {ecuación}

Answer 3

Puedes ver $ \left ( \frac { \partial ^2}{ \partial t^2} +| \mathbf {p}|^2+m^2 \right ) \phi ( \mathbf {p},t)$ como la transformación de Fourier de su función. ¿Y cuál es su función? 0, y cuál es la transformación de Fourier 0-s, bien cero.

Answer 4

Desde $e^{i \textbf {p} \cdot \textbf {x}}$ es una onda plana, se integrará hasta el infinito cuando la integral se apodere de todo el espacio de impulso. Si la integral se evalúa a cero, entonces el término restante $ \left ( \partial_t ^2 + | \textbf {p}^2| + m^2 \right ) \phi\left ( \textbf {p}, t \right )$ tiene que ser idénticamente cero.