Pregunta sobre la acción del grupo simétrico

Question

Intento analizar lo siguiente.

Supongamos que $S_{3}$ actúa sobre un conjunto no vacío $T$ y que tiene $3$ órbitas. ¿Qué podemos decir sobre las posibles cardinalidades del conjunto T?

Mis pensamientos:

Si $G=S_{3}$ entonces $|G|=3!=6$ y estamos considerando $$G \times T \to T,~~(g,t) \to g \star t$$

También sé que $|\text{orb(t)}|=\frac{|G|}{|\text{stab(t)}|}$

Sé que lagranges thereom nos dice que el tamaño de un subgrupo debe dividir el tamaño del grupo. También sé que las órbitas particionan un conjunto finito, entonces como la órbita es un subgrupo de T, sabemos que el tamaño de las órbitas debe dividirlo?

$$|T|=|orb(t_{1})|+|orb(t_{2})|+|orb(t_{3})|$$ Y además, cualquier punto fijo es también un estabilizador. Pero estoy teniendo problemas para poner todo esto junto para hacer un pensamiento coherente de lo que esto me dice acerca de T.

Si no, no estoy muy seguro de cómo proceder.

¿Algún consejo? Gracias.

Answer 1

Cuando dices "también sé que $\lvert \text{orb}(t)\rvert=\frac{\lvert G\rvert}{\lvert \text{stab}(t)\lvert}$ que nos dice $\lvert \text{stab}(t)\rvert =2$ Creo que te estás equivocando $\lvert \text{orb}(t)\rvert$ para el número de órbitas de $T$ . Esto no es lo que $\lvert\text{orb}(t)\rvert$ es. Dado un elemento particular, $t\in T$ , $\text{orb}(t)$ es el conjunto de elementos a los que la acción de $G$ lleva $t$ y $\lvert\text{orb}(t)\rvert$ es el número de estos elementos, y no dice nada sobre las otras órbitas de $T$ .

Aclarar esto puede ayudarte en tu camino a resolver, el problema, pero si todavía necesitas una pista sabiendo que $T$ tiene tres órbitas, podemos escoger elementos $t_1, t_2, t_3\in T$ para que $$\lvert T\rvert=\lvert\text{orb}(t_1)\rvert+\lvert\text{orb}(t_2)\rvert+\lvert\text{orb}(t_3)\rvert\text{.}$$