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Supongamos que $H<G$ , dejemos que $N=\bigcap_{x\in G} xHx^{-1}$ , mostrar $N$ es el mayor subgrupo normal de $G$ contenida en $H$ .

He leído en algún texto la siguiente afirmación:

Dejemos que $H$ sea un subgrupo de $G$ . Denote $N=\bigcap_\limits{x\in G} xHx^{-1}$ entonces $N$ es el más grande subgrupo normal de $G$ contenida en $H$ .

Es fácil mostrar $N<G$ ya que $H$ es un subgrupo de $G$ cualquier conjugado $xHx^{-1}~(x\in G)$ de $H$ también es un subgrupo de $G$ y la intersección de subgrupos es también un subgrupo. $N\lhd G$ también se demuestra fácilmente, si $n\in N$ entonces para cualquier $g\in G$ existe $h\in H$ tal que $n=ghg^{-1}$ y para cualquier $x\in G$ tenemos $xnx^{-1}=x(ghg^{-1})x^{-1}=(xg)h(xg)^{-1}$ . Ya que para cualquier $g$ tal $h$ siempre existe y $x\mapsto xg$ es suryente, claramente $xnx^{-1}\in N$ . $N\subseteq H$ porque $1H1^{-1}=H$ es uno de los subgrupos de intersección.

Se deja ver $N$ es el más grande subgrupo normal contenido en $H$ que no sé cómo conseguir. Agradezco cualquier ayuda o pista, gracias.

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user803264 Puntos 336

Supongamos que existe un subgrupo normal mayor de $H$ , es decir, algún subgrupo $N'$ existe tal que $$N \subseteq N' \subseteq H.$$ Tenemos que demostrar que $N' = N$ . Sólo tenemos que demostrar que $N' \subseteq N$ .

Tome cualquier $g \in N'$ y $x \in G$ . Entonces $x^{-1} g x \in N' \subseteq H$ Por lo tanto $g \in xHx^{-1}$ . Esto es cierto para cualquier $x \in G$ Por lo tanto $$g \in \bigcap_{x \in G} xHx^{-1} = N,$$ completando la prueba.

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DodoDuQuercy Puntos 729

SUGERENCIA: demuestre que cualquier subgrupo normal de $G$ contenida en $H$ está contenida en N

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