He leído en algún texto la siguiente afirmación:
Dejemos que $H$ sea un subgrupo de $G$ . Denote $N=\bigcap_\limits{x\in G} xHx^{-1}$ entonces $N$ es el más grande subgrupo normal de $G$ contenida en $H$ .
Es fácil mostrar $N<G$ ya que $H$ es un subgrupo de $G$ cualquier conjugado $xHx^{-1}~(x\in G)$ de $H$ también es un subgrupo de $G$ y la intersección de subgrupos es también un subgrupo. $N\lhd G$ también se demuestra fácilmente, si $n\in N$ entonces para cualquier $g\in G$ existe $h\in H$ tal que $n=ghg^{-1}$ y para cualquier $x\in G$ tenemos $xnx^{-1}=x(ghg^{-1})x^{-1}=(xg)h(xg)^{-1}$ . Ya que para cualquier $g$ tal $h$ siempre existe y $x\mapsto xg$ es suryente, claramente $xnx^{-1}\in N$ . $N\subseteq H$ porque $1H1^{-1}=H$ es uno de los subgrupos de intersección.
Se deja ver $N$ es el más grande subgrupo normal contenido en $H$ que no sé cómo conseguir. Agradezco cualquier ayuda o pista, gracias.