Cuál es la traza de un entero de grado algebraico $1$ ?

Question

Pregunta potencialmente tonta aquí. Al menos estoy bastante seguro de que no es un duplicado.

Cuando se trata de enteros cuadráticos, creo que sé bastante bien lo que son la traza y la norma. Dado un entero cuadrático $a + b \sqrt{d}$ (las diversas restricciones de $a$ y $b$ y $d$ estipulado, como dicen los abogados), el polinomio mínimo es $x^2 - 2a + (a^2 - db^2)$ el rastro es $-2a$ y la norma es $a^2 - db^2$ .

Para los enteros algebraicos de grado superior, es decir $k > 2$ Creo que sigo entendiendo que la norma es: en el polinomio $x^k + \alpha_{k - 1} x^{k - 1} + \ldots + N$ , donde $\alpha_k = 1$ implícitamente, $N \in \textbf{Z}$ , $N$ es la norma. Pero, ¿qué es el rastro?

He pensado en resolverlo calculando la traza y la norma de los enteros algebraicos de grado $1$ . Es decir, los números de $\textbf{Z}$ . Dado un número entero $n$ de grado algebraico $1$ el polinomio mínimo es $x - n$ y la única solución es $x = n$ .

Así que la norma es $-n$ y el rastro es $0$ ? ¿Está bien o mal?

Answer 1

Para un número algebraico $\alpha$ , dejemos que $L=\Bbb Q(\alpha)$ sea la extensión que genera, y que $p(x) = \sum_{i=0}^k a_i x^i$ con $a_k=1$ su polinomio mínimo normado (así $k = deg(p)$ ). Entonces la traza y la norma de $x$ vienen dadas por

$Tr_{L\vert \Bbb Q}(\alpha)= \bf{\color{red}{-}} $$ a_{k-1}$

$N_{L\vert \Bbb Q}(\alpha)= (-1)^{k}\cdot a_0$ .

Así que hasta $\pm$ el rastro es $a_{k-1}$ y la norma es $a_0$ pero hay que tener cuidado con el cartel.

Obsérvese que hay al menos otras dos definiciones de la traza resp. norma que vale mucho la pena aprender: 1) como traza resp. determinante de la multiplicación con $x$ visto como un operador lineal en el $\Bbb Q$ -espacio vectorial $L$ 2) como suma o producto de todos los $\sigma(\alpha)$ , donde $\sigma$ recorre las diferentes incrustaciones de $\alpha$ en un cierre algebraico de $\Bbb Q$ . Obsérvese que 2) es especialmente útil si la extensión es de Galois, y está relacionada con la destacada por Las fórmulas de Vieta y la observación de que

$$p(x) = \prod_{\sigma}(x-\sigma(\alpha)).$$

Obsérvese, en particular, cómo si $k=1$ Por supuesto, tenemos $Tr(\alpha) = N(\alpha) = \alpha$ .

En el caso cuadrático, para $\alpha= a+b\sqrt d$ Todas las fórmulas anteriores dan en realidad -y recomiendo hacer estos cálculos usted mismo como un ejercicio esclarecedor- que $N(\alpha) = a^2-b^2d$ y $Tr(\alpha)=2a$ (su rastro tiene el signo equivocado).

Nótese que esto no tiene mucho que ver con que los números sean integrales, y se generaliza a extensiones de campo arbitrarias. Para un buen primer vistazo, recomiendo estos y estos notas de clase. Las fórmulas resaltadas arriba se encuentran allí en el Cor. 5.10 o en la sección 2.1.3.

Answer 2

Si dejas que $\sigma _1, \sigma _2, ...\sigma _d$ sean las incrustaciones de campo K $ \rightarrow \mathbb{C}$ entonces el $\mathrm{Norm}(a)= \sigma _1(a)\sigma _2(a) ...\sigma _d(a)$ , mientras que $\mathrm{Trace}(a)= \sigma _1(a)+\sigma _2(a)+ \cdots+\sigma _d(a)$ .

Cuando se trata de una extensión de grado 1, sólo hay una incrustación de campo, la identidad.

Así que la norma y el rastro de $a$ un número entero algebraico en $\mathbb{Q}$ es igual a $a$ .