Usando la desigualdad de Khinchin

Question

Al final de la página 5 de las notas de las conferencias , establece $\psi$ una función de Schwartz soportada en el cubo de la unidad $[0,1]^n$ y elija $f(x)=\sum_{k=1}^N\epsilon_k\psi(x-ke_1)$ , donde $e_1$ es uno de los vectores base de $\mathbb{R}^n$ , $N$ es un número entero grande y $\epsilon_k$ son un conjunto de signos independientes idénticamente distribuidos $\epsilon_k=\pm1$ . Tenemos $\|f\|_p\sim N^{1/p}$ (aquí $A\sim B\Leftrightarrow A\lesssim B$ y $B\lesssim A$ , donde $A\lesssim B$ significa que existe C de tal manera que $A\leq C.B$ .) Utilizando la desigualdad de Khinchin: Si $f_1,\ldots,f_N$ son un conjunto de funciones y $\epsilon_k$ son signos aleatorios, entonces para cualquier $1<p<\infty$ tenemos $$E(\|\sum_{k=1}^N\epsilon_kf_k\|_p^p)\sim \|(\sum_{k=1}^N|f_k|^2 )^{1/2}\|_p^p,$$ donde las constantes en el $\sim$ son independientes de $N$ y $f_k$ y $E$ denota la expectativa, vemos que $$E(\|\hat{f}\|_q^q)\sim \|(\sum_{k=1}^N|\hat{\psi}(\xi)e^{2\pi ik\xi_1}|^2)^{1/2}\|_q^q\sim N^{q/2}.$$

No entiendo la siguiente afirmación: debe existir alguna opción de signos para la que $\|\hat{f}\|_q\gtrsim N^{1/2}$ .

Ayúdame, por favor.

Answer 1

Los signos $\epsilon_k$ no son funciones de $x$ son constantes $1$ o $-1$ . Puedes evitar toda la discusión de que son aleatorios, independientes, etc. escribiendo $2^{-N}\sum_{\epsilon\in \{-1,1\}^N}(\cdots)$ en cualquier lugar que veas $E(\cdots)$ . El chiste es que si la media de alguna cantidad $Q(\epsilon)$ sobre todos los epsilones es $A$ entonces existe un valor $\epsilon_0$ ("elección de signos") para los que $Q(\epsilon_0)\ge A$ . Que es exactamente la conclusión aquí: $\|\hat f\|_q^q\gtrsim N^{q/2}$ .