Distribución marginal de dos Variables Aleatorias distribuidas conjuntamente que son dependientes

Question

Encuentre la distribución marginal de $X$ (Nota: $c=1/8$ ).

Claramente, $X$ depende de $Y$ ya que el valor que toma Y restringe el dominio de $X$ . ¿Afectaría esto al cálculo de la distribución marginal? ¿O simplemente se haría lo habitual?

¿Qué ocurre con el dominio de $X$ ? ¿Es simplemente $- \infty < x < \infty $ ?

Siento que me falta algo conceptualmente aquí. Se agradece cualquier idea al respecto.

Answer 1

Obsérvese que la función de densidad conjunta es $0$ a menos que $y\ge |x|$ . Así que para $f_X(x)$ integramos $c(y^2-x^2)e^{-y}$ de $y=|x|$ a $\infty$ . El dominio de $f_X(x)$ será de hecho todo $\mathbb{R}$ .

Observación: La función obtenida en la OP no es una función de densidad sobre ningún intervalo. Pues a menos que se restrinja a un subconjunto de $[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$ A veces es negativo. Y si se restringe, se integra a menos de $1$ .