Demostrando que $x,y \in \ell^2(\Bbb N) \implies x+y \in \ell^2(\Bbb N)$ .

Question

Quiero demostrar que $x,y \in \ell^2(\Bbb N) \implies x+y \in \ell^2(\Bbb N)$ . Estoy seguro de que hay una forma rápida de hacerlo, pero no la veo. Soy capaz de demostrar las desigualdades de Young, Hölder y Minkowski para establecer el resultado para $\ell^p(\Bbb N)$ pero eso parece exagerado aquí y no quiero hacerlo.

¿Puede alguien indicarme el camino, por favor? Gracias.

Observe..: $\ell^2(\Bbb N) = \left\{ (x_n)_{n \in \Bbb N} \mid x_n \in \Bbb C~ \forall\,n, \text{ and } \sum_{n \in \Bbb N}|x_n|^2 < +\infty \right\}$

Answer 1

Una desigualdad absolutamente torpe: Si $a,b \ge 0,$ entonces $(a+b)^2 \le 4a^2 + 4 b^2.$ Prueba: Si $a\le b,$ entonces el lado izquierdo es $\le (2b)^2 = 4b^2,$ la misma idea por supuesto si $a\ge b.$ Así que $$\sum (x_n+y_n)^2 \le \sum (|x_n|+|y_n|)^2 \le \sum (4|x_n|^2 + 4|y_n|^2)$$ y eso es todo.

Answer 2

Esto se deduce de la desigualdad del triángulo de la $\ell^2$ norma, ya que $x,y \in \ell^2$ entonces $\|x\|_2 <\infty $ y $\|y\|_2 <\infty$ así $$ \sum_{n=0}^\infty |x_n + y_n|^2 =\| x+ y\|_2^2 \leq (\|x\|_2+\|y\|_2)^2 < \infty $$ Por lo tanto, de hecho $x+y \in \ell^2$

Answer 3

Una pista: multiplicar los términos de la suma para $||x + y||$ y utilizar Cauchy-Schwarz para encontrar un límite para $\sum x_iy_i$ en términos de $||x||$ y $||y||$ .