A hipergrafo lineal es un hipergrafo $H=(V,E)$ tal que
- para $e\in E$ tenemos $|e|\geq 2$ y
- si $e\neq e_1\in E$ entonces $|e\cap e_1| \leq 1$ .
Un función inyectiva de elección de bordes de un hipergrafo lineal es un mapa inyectivo $f:E\to V$ tal que:
para todos $e\in E$ tenemos $f(e)\in e$ .
Obviamente, si $|E|>|V|$ no puede haber tal función.
Pregunta. Si $H=(V,E)$ es un hipergrafo lineal con $V$ finito y $|e|\geq 3$ para todos $e\in E$ , lo hace $H$ ¿tiene necesariamente una función de elección de borde inyectiva?
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Quizás he leído algo mal, pero ¿se mantiene el 2. si $e\cap e_1=\emptyset$ ¿de todos modos? Así que la pregunta es si $H$ tiene un conjunto de representantes distintos.Seguramente no, si $|E|>|V|$ .
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¡Tienes razón @PéterKomjáth! Debería formularlo de forma más elegante. - Una subpregunta interesante es si $|e|>2$ para todos $e\in E$ implica $|E|\leq |V|$ ?
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No, hay un plano afín en 9 puntos con 12 líneas, y cada línea tiene una longitud de 3.
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Gracias, ¿puede publicar esto como una respuesta para que podamos cerrar este hilo?