Convergencia fuerte o débil de $f_n(x) = \frac{1}{n}$ si $x \in [0,n]$ en $L^1(\mathbb{R})$

Question

Considere $$f_n(x) = \begin{cases} \frac{1}{n} & x \in [0,n] \\ 0 &\text{otherwise}\end{cases}. $$ ¿Converge fuertemente en $L^1(\mathbb{R})$ ? ¿O tiene alguna subsecuencia débilmente convergente?

Answer 1

Si $g \in C_c (\Bbb {R}) $ es arbitraria, entonces

$\int f_n g dx \to 0$ .

Por lo tanto, el único límite (débil) posible de cualquier subsecuencia es ???

Pero

si tomamos $g \equiv 1$ entonces $\int f_n g dx =1$ para todos $x $ .

Por lo tanto, no existe una subsecuencia débilmente convergente. En particular, la secuencia no converge fuertemente.