La matriz tridiagonal simétrica tiene valores propios distintos.

Question

Demuestre que el rango de $ n\times n$ matriz tridiagonal simétrica es al menos $n-1$ y demostrar que tiene $n$ valores propios distintos.

Answer 1

Esto es para las matrices tridiagonales con elementos fuera de diagonal no nulos.

Dejemos que $\lambda$ sea un valor propio de $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ (que es tridiagonal simétrica con elementos no nulos $a_{2,1},a_{3,2},\ldots,a_{n,n-1}$ en la subdiagonal). La submatriz construida borrando la primera fila y la última columna de $A-\lambda I$ es no singular (ya que es triangular superior y tiene elementos no nulos en la diagonal) y, por tanto, la dimensión del espacio nulo de $A-\lambda I$ es 1 (porque su rango no puede ser menor que $n-1$ y el espacio nulo debe ser no trivial ya que $\lambda$ es un valor propio). Se deduce entonces que la multiplicidad geométrica es 1 y por tanto la multiplicidad algebraica de $\lambda$ también es 1. Esto es válido para cualquier valor propio de $A$ y por lo tanto son distintos.

El hecho de que $\mathrm{rank}(A)\geq n-1$ es una simple consecuencia de eso ( $0$ también tiene multiplicidad 1 si $A$ es singular).