Pullback de haces de líneas y divisores

Question

Dejemos que $X$ y $Y$ sean superficies proyectivas lisas sobre un campo cerrado alg. Sea $f:X\longrightarrow Y$ sea un morfismo finito de grado 2. Sea $C$ sea una curva suave que mapea a una curva suave $C'$ en $f$ . ¿Es obvio que $\mathcal{O}_X(C)=f^*\mathcal{O}_Y(C')$ ?

Por el contrario, si $L'$ es un haz de líneas en $Y$ y si $C\in |f^*L'|$ , entonces es $f(C)\in |L'|$ ?

Answer 1

A) No, no es cierto que $\mathcal{O}_X(C)=f^*\mathcal{O}_Y(C')$ .
Por ejemplo $X=\mathbb P^2_{x:y:z}, Y=\mathbb P^2_{u:v:w}, C=V(x)$ y que $$f(x:y:z)=(u:v:w)=(x^2:yz:z^2)$$ para que $C'= V(u)$ .
Entonces $\mathcal O_X(C)=\mathcal O_{\mathbb P^2}(1)$ mientras que $f^*(\mathcal O_Y(C'))=f^*(\mathcal O_{\mathbb P^2}(1))=\mathcal O_{\mathbb P^2}(2)$

b) La misma configuración también da una respuesta negativa a su segunda pregunta:
Toma para $L'$ el haz de líneas $\mathcal O_{\mathbb P^2}(1)$ . Entonces $f^*(L')=\mathcal O_{\mathbb P^2}(2)$ y puede tomar para $C$ la cónica $z^2=xy$ .
Su imagen $f(C)$ es la curva $C'$ dado por $ w^3=uv^2$ que ni toda tu Piedad ni tu Ingenio atraerán a $|L'|$ .