GCD de polinomios mediante el algoritmo de Euclides

Question

Dejemos que $g = x^2 +6x -7$ y $f = x^4 - 1$ . Encuentra el GCD de $f$ y $g$ .

Así que empecé por evaluar $f/g$ y el resultado es $q = x^2-6x+43, r = -300x+300$ . He intentado seguir el algoritmo un paso más allá, pero no veo cómo el resultado acaba siendo $x-1$ .

Answer 1

Como dices, la división euclidiana da como resultado \begin{align*} (x^4-1) &= (x^2 - 6x + 43)(x^2 + 6x - 7) + (-300x+300)\\ &= q(x)\cdot(x^2 + 6x - 7) + r(x) \end{align*} Entonces $\gcd(x^4-1,\,x^2+6x-7)=\gcd(x^2+6x-7, -300x+300)$ . Se puede aplicar de nuevo la división euclidiana para concluir

$$\gcd(x^4-1,\,x^2+6x-7) = -300x+300$$

Pero esto ya lo sabías. Lo que puede que hayas pasado por alto es que el máximo común divisor es único hasta unidades . En particular $$-300x+300 = -300\cdot(x-1)$$ Ahora, como 300 es una unidad, podemos decir:

$$\gcd(x^4-1,\,x^2+6x-7) = x-1$$

La cuestión es que el término constante no es importante. Se puede dividir por $-300$ y todavía tienes un máximo común divisor.