¿Cómo se encuentran los rectángulos inscritos en una curva de Jordan arbitraria?

Question

En este vídeo se presenta una prueba de que siempre existe al menos un rectángulo inscrito en cualquier curva cerrada. ¿Existe un método algorítmico para encontrar las coordenadas de los rectángulos inscritos para una curva arbitraria?

Hay muchos artículos que demuestran que ese rectángulo debe existir, pero no he encontrado ningún método para encontrar realmente esos rectángulos.

¿A quién le importa la topología? (Problema del rectángulo inscrito)

Answer 1

Supongamos que la curva viene dada implícitamente por $F(x) = 0$ . Los vértices $v_1, v_2, v_3, v_4$ de su rectángulo son entonces soluciones del sistema

$$ \eqalign{F(v_1) &= 0 \cr F(v_2) &= 0 \cr F(v_3) &= 0 \cr F(v_4) &= 0 \cr (v_1 - v_2) \cdot (v_2 - v_3) &= 0\cr (v_2 - v_3) \cdot (v_3 - v_4) &= 0\cr (v_3 - v_4) \cdot (v_4 - v_1) &= 0\cr (v_4 - v_1) \cdot (v_1 - v_2) &= 0\cr} $$

Podemos intentar resolver este sistema, numérica o simbólicamente (tal vez utilizando las bases de Groebner si $F$ es un polinomio), evitando las soluciones triviales $v_1 = v_2 = v_3 = v_4$ . Es de esperar que sólo haya un número finito de tales soluciones, y que algunas de ellas den sus rectángulos inscritos.

EDIT: Para un ejemplo como el tuyo (producido usando splines), una ecuación implícita no va a ser fácil de encontrar. Sin embargo, una ecuación paramétrica se puede obtener. Si la curva se da paramétricamente como $x = X(t)$ , $0 \le t \le L$ y los vértices son $X(t_1)$ , $X(t_2)$ , $X(t_3)$ , $X(t_4)$ entonces las ecuaciones son

$$ \eqalign{(X(t_1) - X(t_2)) \cdot (X(t_2) - X(t_3)) &= 0\cr (X(t_2) - X(t_3)) \cdot (X(t_3) - X(t_4)) &= 0\cr (X(t_3) - X(t_4)) \cdot (X(t_4) - X(t_1)) &= 0\cr (X(t_4) - X(t_1)) \cdot (X(t_1) - X(t_2)) &= 0\cr}$$