¡Buen trabajo de intuición!
Ahora formal:
Para mostrar $\{2^k\}$ no está acotado por encima hay que demostrar que no hay $M$ para que $M\ge 2^k$ para todos $k\in \mathbb Z$ .
Si $\{2^k\}$ fueron acotado por encima, entonces $\sup 2^k$ existe. Podemos suponer $2^k > 1$ por razones obvias (porque $\sup 2^k \ge 2^1 > 1$ ) Pero entonces para cualquier $1 < w < \sup 2^k$ , $w$ es no un límite superior. Así que habrá un $2^m$ para que $w < 2^m \le \sup 2^k$ . Pero eso significaría $1< w < 2^m < 2^{m+1} \le \sup 2^k$ .
Pero no olvidemos que $w$ puede ser cualquier número inferior a $\sup 2^k$ . Es decir, podemos tener $w$ sea tan arbitrariamente cercano a $\sup 2^k$ como queramos. Bue $\sup 2^k - w > 2^{m+1} - 2^{m} = 2^m(2-1) = 2^m > 1$ . Pero esto sería cierto para $w = \sup 2^k -1$ . Si $w=\sup 2^k-1$ debemos tener $2^m$ y $2^{m+1}$ para que $w= \sup 2^k - 1 < 2^m < 2^{m+1} \le \sup 2^k$ que es imposible.
Así que no podemos tener $\{2^k\}$ delimitado por encima.
Ahora para probar $\inf 2^k = 0$ .
Nota $2^k > 0$ así que $0$ es a límite inferior. Así que $\inf 2^k$ existe y $\inf 2^k \ge 0$ .
Supongamos que $\inf 2^k > 0$ . entonces significa para cualquier $w > \inf 2^k$ entonces existe un $2^m$ para que $w > 2^m \le \inf 2^k$ .
Pero, ¿y si hacemos $w = 2\cdot \inf 2^k$ . Si $\inf 2^k > 0$ entonces $w =2\cdot \inf 2^k> \inf 2^k$ . Pero eso significa $2\cdot \inf 2^k > 2^m > 2^{m-1} \ge \inf 2^k$ .
¿Ves cómo eso es una contradicción? No hay "espacio" para esos poderes de $2$ . Si dividimos cada término pero $\frac 12$ obtenemos $\frac w2 = \inf 2^k > 2^{m-1} > 2^{m-2}\ge \frac 12\cdot \inf 2^{k}$ contradiciendo a la vez que $\inf 2^k$ es un límite inferior, y el $2^{m-1} \ge \inf 2^k$ .
Así que no podemos tener $\inf 2^k > 0$ . Así que $\inf 2^k \ge 0$ pero $\inf 2^k > 0$ es imposible... así que $\inf 2^k = 0$ .
