Solucionar $x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\dots}}} = 4$

Question

Hoy me enfrenté a una extraña ecuación y no he podido encontrar una solución a la misma: $$x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\dots}}} = 4$$ Tal vez alguien me ayude a encontrar una manera de resolverlo. Por cierto, esta ecuación es de curso de la escuela preparatoria.

Answer 1

$$x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\cdots}}}=x\,x^{1/2}\,x^{1/4}\,x^{1/8}\cdots=x^{1+1/2+1/4+1/8+\cdots}=x^2$$

Answer 2

Sugerencia

Dividir ambos lados por $x$ y la plaza de ellos. Usted debe notar algo hermoso.

Answer 3

Una forma alternativa de $$x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\cdots}}}=4\implies \sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\cdots}}}}=2.$$ Ahora observe que el $$ \sqrt{x\underbrace{\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\cdots}}}}_{2}}=2.$$ Por lo tanto, la ecuación se reduce a $$\sqrt{2x}=2\implies 2x=4\implies x=2.\tag{$x>0$}$$

Answer 4

Bueno, ya que no se ha dicho todavía y usted lo mencionó fue en el progresiones geométricas capítulo de su libro, tenga en cuenta que la ecuación puede escribirse como

$$x^{1+1/2+1/4+1/8+...}=4$$

Así que ahí está su progresión geométrica. Tenga en cuenta que $x$ debe ser positiva.

Answer 5

El poder de variabe es en el término de la suma de G. P . Los índices de x es tal que 1+1/2+1/4+...... Porque sabemos que la infinita suma de G. P: Sn = a/(1-r) donde r=razón común