El ejercicio es el texto del título. Estoy estudiando las integrales de superficie. Para empezar he pensado en hacer un cambio a coordenadas cartesianas con $z$ en función de $x$ y $y$ Es decir, $z=\frac{x^2+y^2}{2}$ . Con esto hago la siguiente parametrización: $O(x,y)=[x/2,y,z=\frac{x^2+y^2}{2}]$ Luego calculé la norma del vector normal de $O(x,y)$ es decir $(-x,\frac{-y}{2}, 1/2)$ . ¿Está bien lo que hice? ¿Cómo he continuado el ejercicio?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Según la definición de superficie hay que evaluar $$A=\iint_S\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}dxdy=\iint_S\sqrt{1+x^2+y^2}dxdy$$ donde $z=f(x,y)=\frac{x^2+y^2}{2}$ (un paraboloide) y $S=\{(x,y):x^2+\frac{y^2}{4}\leq 1\}$ (el interior de una elipse). Después de dejar $X=x$ y $Y=y/2$ debería poder utilizar las coordenadas polares. Desgraciadamente en el resultado final intervienen integrales elípticas y no hay forma cerrada.
