Isomorfismo: número mínimo de pasos a comprobar

Question

En general, hay dos métodos para comprobar que un mapa es un isomorfismo.

La primera es demostrar que es inyectiva, suryectiva y un homomorfismo. Una segunda forma es a través de la construcción de la inversa.

Me confundí un poco con este segundo método porque hay gente que revisa más cosas que otras. ¿Cuáles son los pasos mínimos que hay que dar para seguir este segundo método?

Mi suposición es:

1. mostrar $f$ es biyectiva
2. encontrar $g$ tal que $fg=id$

¿Falta algún paso? Es decir, ¿depende de la fuente que algunas personas también estén comprobando cosas como la subjetividad y la inyectividad de $g$ ? ¿Es necesario?

Answer 1

La "segunda vía" es insuficiente.

Por ejemplo, un isomorfismo de grupo debe asignar la identidad en su dominio a la identidad en su codominio.

Prueba: Dejemos que $x\in G$ y $\varphi: G\to H$ sea un isomorfismo de grupo. Entonces

$$\begin{align} \varphi(x)&=\varphi(e_Gx)\\ &=\varphi(e_G)\varphi(x), \end{align}$$

por lo que si multiplicamos a la derecha por $(\varphi(x))^{-1}$ obtenemos

$$\begin{align} e_H&=\varphi(x)(\varphi(x))^{-1}\\ &=\varphi(e_G)(\varphi(x)(\varphi(x))^{-1})\\ &=\varphi(e_G)e_H\\ &=\varphi(e_G). \end{align}$$

Desde $\varphi$ es un isomorfismo, en particular, es una biyección, por lo que $e_G$ es el único $g\in G$ para lo cual $\varphi(g)=e_H$ . $\square$

Pero considera

$$\begin{align} f: \Bbb Z_2&\to \Bbb Z_2,\\ [0]_2&\mapsto [1]_2,\\ [1]_2&\mapsto [0]_2. \end{align}$$

Claramente $f$ tiene un inverso (es decir, él mismo), pero no mapea la identidad a la identidad, por lo que no puede ser un isomorfismo.