Fórmula de reducción

Question

Dejemos que $\ I_n = \int_{0}^{1} \frac{1}{(1+x^2)^n} dx$ . Demostrar que para todo entero positivo n, $$\ 2nI_{n+1} = 2^{-n}+(2n-1)I_n$$

Intento

$$\ I_{n+1} = \int_{0}^{1} \frac{1}{(1+x^2)^{n+1}} dx$$ $$\ I_{n+1} = \int_{0}^{1} \frac{1+x^2}{(1+x^2)^{n+1}} dx-\int_{0}^{1} \frac{x^2}{(1+x^2)^{n+1}} dx$$ $$\ I_{n+1} = I_n-\int_{0}^{1} \frac{x^2}{(1+x^2)^{n+1}} dx$$ $$\ I_{n+1} = I_n-[\frac{-2^{-n}}{2n}+\frac{1}{n}\int_{0}^{1} \frac{1}{(1+x^2)^{n}} dx]$$ $$\ 2nI_{n+1} = 2nI_n+2^{-n}-2I_n $$ $$\ 2nI_{n+1} = (2n-2)I_n+2^{-n} $$

¿Puede alguien decirme el error que estoy cometiendo?

Answer 1

¿Puede alguien decirme el error que estoy cometiendo?

Veo un error al integrar por partes, has olvidado el factor $\dfrac12$ delante de la segunda integral, se tiene más bien, para $n\ge1$ , $$ \int_{0}^{1} \frac{x^2}{(1+x^2)^{n+1}} dx=\left[x\cdot-\frac{1}{2n(1+x^2)^{n}}\right]_{0}^{1}+\frac1{2n}\int_{0}^{1} \frac{1}{(1+x^2)^n} dx. $$ de la cual $$ I_n-I_{n+1}=-\frac{2^{-n}}{2n}+\frac1{2n}I_n $$ o

$$\ 2nI_{n+1} = 2^{-n}+(2n-1)I_n$$

como se anunció.