¿Una receta de transformación para el cálculo funcional de un operador autoadjunto?

Question

Consideremos un operador autoadjunto $\operatorname{A}$ en un Hilbertspace $\mathcal{A}$ y su descomposición espectral según el teorema espectral:

$$A = \int_{\mathbb{R}} \lambda \;dP_\lambda$$

Dejemos que $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{C}$ sea una función continua y considere el uso del cálculo funcional:

$$f(A) = \int_\mathbb{R}f(\lambda) \; dP_\lambda$$

¿Existe una "receta de transformación" a otra medida espectral $P_\mu^f$ , de tal manera que se puede escribir:

$$f(A) = \int_\mathbb{R}\mu\; dP_\mu^f,$$

donde $P_\mu^f$ depende de $\operatorname{A}$ a través de su medida espectral original y en la función $f$ ?

Answer 1

Sí. Podemos calcular la medida espectral $P^f$ del operador $f(A).$ Dejemos que $M\subseteq\mathbb R$ sea un conjunto de Borel. Entonces

$$P^f(M)=\chi_M(f(A))=(\chi_M\circ f)(A)=\int_{\mathbb R}\chi_M(f(\lambda))dP_\lambda=\int_{\mathbb R}\chi_{f^{-1}(M)}(\lambda)dP_\lambda=\chi_{f^{-1}(M)}(A)=P(f^{-1}(M)).$$

Puede encontrar un teorema de transformación para las integrales espectrales sobre espacios de medidas generales en el libro de Berezanskii, Us, Sheftel "Functional Analysis".