Equivalencia de sumas (simple)

Question

Denote $[n]=\{1,\dotsc,n\}\subseteq \mathbb{N}$ . Consideremos la suma finita $\sum_{(i,j)\in A} f(x_i,x_j)$ donde $A\subseteq [n]^2$ . Supongamos que $A=\cup_{l=1}^n A_l$ es una unión disjunta y $A_l=\{(l,j): (l,j)\in A\},l=1,\dotsc,n$ . ¿Puedo concluir que $$\sum_{(i,j)\in A} f(x_i,x_j)=\sum_{l=1}^n\sum_{(l,j)\in A_l} f(x_i,x_j) ?$$

Creo que este es el caso. Pero no me queda claro cómo argumentarlo. Tal vez tenga que ver esto como $$\sum_{(i,j)\in \cup_{l=1}^n A_l}f(x_i,x_j)=\sum_{(i,j)\in A_1}f(x_i,x_j)+\dotsc +\sum_{(i,j)\in A_n}f(x_i,x_j)\\ =\sum_{(1,j)\in A_1}f(x_i,x_j)+\dotsc +\sum_{(n,j)\in A_n}f(x_i,x_j)\\ =\sum_{l=1}^n\sum_{(l,j)\in A_l} f(x_i,x_j)$$ .

¿Qué te parece?

Answer 1

Si el codominio de $f$ tiene adición asociativa y conmutativa, entonces puedes reordenar los términos finitos de la suma como quieras.

Observe que parece haber un error administrativo en su formulación, en

$$\sum_{l=1}^n\sum_{(\color{red}l,j)\in A_l} f(x_i,x_j)$$

el $\color{red}l$ debe ser sustituido por un $i$ .

O tal vez usted comenzó con el caso especial de que $A_l=\{(l,j) \in A\}$ Lo que explicaría tanto ese error como el comentario de ajotaxte.