Soy un estudiante de secundaria de 16 años y recientemente he escrito un trabajo sobre una aproximación numérica de funciones distintas. Se lo he mostrado a mis profesores y no lo entienden. Mis preguntas: ¿Es un teorema válido para usar para estimar funciones con base distinta? ¿Se ha creado ya algo similar? ¿Es útil/publicable? ¿Algún consejo para mejorar? Voy a dar un resumen, pero se puede encontrar aquí: https://www.overleaf.com/read/xjqhfgvrcrbj
Definiciones
La similitud geométrica se refiere a la dilatación de una determinada forma en todas sus dimensiones. Las pruebas de similitud geométrica se incluyen en las pruebas de congruencia de triángulos con pruebas AAA (ángulo-ángulo-ángulo). Conocer las medidas de todos los lados de ambos triángulos: $\triangle{ABC}$ y $\triangle{A'B'C'}$ Para encontrar el factor de dilatación y demostrar la similitud geométrica, debe ser cierto lo siguiente: $\frac{\mid A' \mid}{\mid A \mid} =\frac{\mid B' \mid}{\mid B \mid}=\frac{\mid C' \mid}{\mid C \mid}$ .
Interpretando las funciones como formas en el plano cartesiano y utilizando la geometría, se pueden calcular funciones geométricamente similares. Analíticamente esto implicaría para una función $y=f(x)\; \{x_0\leq x \leq x_1\}$ una función geométricamente similar sería de la forma $ny=f(nx)\;\{\frac{x_0}{n}\leq x \leq \frac{x_1}{n}\}$ donde $n\in {\rm I\!R}$ . Esto se debe a que la función se escala por el mismo factor en el $x$ y $y$ dirección, por lo que serían geométricamente similares.
$y_1=\sin(x)\;\{0\leq x \leq 2\pi\}$ y $y_2=\frac{1}{2}\sin(2x)\; \{0 \leq x\leq \pi\}$ " />
Sin embargo, para comparar dos funciones que son distintas, multiplicando $x$ y $y$ por $n$ no será suficiente para demostrar la similitud. La fórmula para hallar el factor de dilatación puede utilizarse para demostrar la similitud entre dos funciones. Al describir una función geométricamente, ésta tiene tres "aristas" superficiales que pueden representarse como conjuntos. Dos de las aristas son los dos ejes $x$ y $y$ . La longitud del lado ' $y$ ' es el $\max \{ f(x) : x = 1 .. n \}-\min \{ f(x) : x = 1 .. n \}$ y la longitud del lado $x$ es $b_1$ - $a_1$ donde $b_1$ es el límite superior y $a_1$ es el límite inferior. Finalmente, el tercer lado de la función será la longitud de arco sobre el intervalo $\{a_1\leq x\leq b_1\}$ . Otra característica para que dos formas sean geométricamente similares es que el área se incrementa por el factor de dilatación al cuadrado.Así, a partir de la fórmula del factor de dilatación para dos triángulos similares se puede derivar el siguiente teorema:
Teorema Dejemos que $y_1\;\{a_1\leq x \leq b_1\}$ y $y_2\;\{a_2\leq x \leq b_2\}$ sean funciones cuya derivada existe en cada punto. Si ambas funciones son geométricamente similares, entonces se cumple el siguiente sistema: \begin{equation} \frac{1}{\big(b_1-a_1\big)}\int_{a_1}^{b_1} \sqrt{1+\bigg( \frac{dy_1}{dx} \bigg) ^{2} } dx= \frac{ 1 }{ \big(b_2-a_2\big) } \int_{a_2}^{b_2} \sqrt{1+\bigg( \frac{dy_2}{dx} \bigg) ^{2} } dx \end{equation} \begin{equation} \frac{1}{\big(b_1-a_1\big)^2} \int_{a_1}^{b_1} y_1 dx= \frac{1}{\big(b_2-a_2\big)^2}\int_{a_2}^{b_2} y_2dx \end{equation}
Similitud entre funciones distintas
Cuando se describe una función como distinta denota que las funciones tienen bases diferentes, es decir, sinusoidal y exponencial. Como se ha mencionado anteriormente, para que exista similitud geométrica de una función $y=f(x)$ la función resultante será $ny=f(nx)$ . Sin embargo, si se comparan funciones de diferentes bases, las ecuaciones (1) y (2) son necesarias para encontrar los límites de similitud. Por ejemplo, el problema
Encontrar los límites $b$ y $a$ donde $e^x\;\{0\leq x\leq 1\}$ es similar a $x^2 $ .
Para ver ejemplos vaya al enlace anterior. Cualquier ayuda sería muy apreciada y disculpas si esto es matemática cruda.
