Isomorfismos de Springer y parabólicas

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo algebraico semisimple y simplemente conectado sobre un campo algebraicamente cerrado $k$ de característica positiva. Fijar un subgrupo de Borel $B \subseteq G$ con un radical unipotente $U$ . Además, deja que $P$ sea un subgrupo parabólico de $G$ que contiene $B$ y que $L$ sea su factor Levi. Denotemos por $U_P \subseteq U$ el radical unipotente de $P$ y establecer $U_L := U \cap L$ .

Dejemos que $\mathfrak U \subseteq G$ denota la variedad unipotente y deja que $ \mathfrak R \subseteq \textrm{Lie}(G) $ denota el cono nilpotente. Si $p$ es un buen primo para $G$ entonces hay un $G$ -equivariante del isomorfismo de Springer $\phi : \mathfrak U \to \mathfrak R$ que restringe a un isomorfismo $ U \to \textrm{Lie}(U) $ . Mi pregunta es: ¿Es $\phi$ se limitan a los isomorfismos $ U_P \to \textrm{Lie}(U_P) $ y $U_L \to \textrm{Lie}(U_L)$ ? Si esto no ocurre siempre, ¿existen condiciones en la parabólica $P$ bajo el cual será cierto?

Answer 1

Cualquier isomorfismo de Springer tiene la propiedad deseada. (Aquí estoy trabajando sobre un campo algebraicamente cerrado, si no hay que tener más cuidado con el lenguaje)

En efecto, dejemos que $P$ sea cualquier subgrupo parabólico de $G$ . A continuación, hay un co-carácter $\lambda:\mathbf{G}_m \to G$ para lo cual $P = P(\lambda)$ es el subgrupo parabólico determinado por $\lambda$ -- ver [Springer, Linear Alg. Groups Prop. 8.4.5].

Explícitamente, $P =$ { $x \in G \mid \operatorname{lim}_{t \to 0} \lambda(t) x \lambda(t)^{-1}$ existe} y el radical unipotente $U = R_u(P)$ viene dada por $U = $ { $x \in P \mid \operatorname{lim}_{t \to 0} \lambda(t) x \lambda(t) ^{-1} = 1$ }; véase [Springer, Linear Algebraic Groups, 3.2.13] para más información sobre estos límites.

En particular, se deduce que $U$ es el conjunto de todos los $x$ en la variedad unipotente para la que $\operatorname{lim}_{t \to 0} \lambda(t) x \lambda(t)^{-1}$ existe y es igual a $1$ .

Además, $\operatorname{Lie}(P)$ y $\operatorname{Lie}(U)$ tienen descripciones similares -- por ejemplo $\operatorname{Lie}(P)$ se compone de todos los $X \in \operatorname{Lie}(G)$ tal que $\operatorname{lim}_{t \to 0} \operatorname{Ad}(\lambda(t))X$ existe.

Como antes, se encuentra que $\operatorname{Lie}(U)$ consiste en que todos los $X$ en la variedad nilpotente para la cual $\operatorname{lim}_{t \to 0} \operatorname{Ad}(\lambda(t))X$ existe y es igual a $0$ .

Dado que un isomorfismo de Springer $\phi$ es $G$ -equivariante (y mapas $0 \mapsto 1$ ), se deduce de estas descripciones que $\phi$ mapas $\operatorname{Lie}(U)$ isomórficamente en $U$ .

Sospecho (¿espero?) que algo parecido a este argumento se da en algún documento que he escrito; ¿quizás el que tiene Donna que Jim mencionó en su comentario?

EDITAR: En realidad, escribí la afirmación requerida en la sección 4 (observación 10) de "Homorfismos óptimos de SL(2)". Comentario. Math. Helv. 80 (2005), nº 2, 391-426.