Suma de dos proyecciones ortogonales - propiedades equivalentes

Question

Intento demostrar las siguientes equivalencias.

Dejemos que $P_1$ y $P_2$ sean las proyecciones ortogonales sobre los subespacios cerrados $M_1$ y $M_2$ respectivamente. Los siguientes son equivalentes:

(i) $P_1+P_2$ es una proyección ortogonal
(ii) $P_1P_2 = 0$
(iii) $M_1\perp M_2$

He probado $(ii) \to (iii)$ cualquier pista sobre las otras implicaciones sería preciosa.

Answer 1

Permítanme demostrar (i) $\Rightarrow$ (ii), mientras que le da un poco más de tiempo para pensar en (iii) $\Rightarrow$ (i), que no es no es tan difícil.

Por hipótesis $$ P_1+P_2= (P_1+P_2)^2 = P_1^2+P_1P_2+P_2P_1+P_2^2 = P_1+P_1P_2+P_2P_1+P_2. $$ así que $P_2P_1=-P_1P_2$ . Multiplicando a la izquierda lo anterior por $P_2$ obtenemos $$ P_2P_1=-P_2P_1P_2. $$ Desde $P_2P_1P_2$ es autoadjunto, entonces también lo es $P_2P_1$ . Pero entonces $$ P_1P_2= P_1^*P_2^*= (P_2P_1)^* = P_2P_1 = -P_1P_2, $$ de donde $P_1P_2=0$ .