Cuente el número de 5 cartas tal que haya exactamente 2 palos

Question

Cuente el número de 5 cartas tal que haya exactamente 2 palos

Supongamos que sacamos cinco cartas de una baraja estándar de 52 cartas. Quiero contar el número de formas en que puedo sacar cinco cartas de manera que la mano contenga exactamente 2 palos.

Esta es mi intuición:
Hay dos casos, uno de ellos implica una sola carta con un palo diferente al de las otras 4, y el otro caso implica dos cartas con el mismo palo, y las otras tres tienen un palo diferente.

Caso 1: ${4 \choose 1} {13 \choose 1} \cdot {3 \choose 1} {13 \choose 4}$

Caso 2: ${4 \choose 1} {13 \choose 2} \cdot {3 \choose 1} {13 \choose 3}$

¿Estoy en lo cierto con los casos? Estoy confundido sobre los coeficientes para elegir los palos para el primer grupo de cartas ya que limitará el número de palos a elegir para el siguiente grupo de cartas. ¿Debo multiplicar cada caso por $2$ ?

Answer 1

Sí, es correcto sin multiplicar por 2. Puedes comprobarlo calculando de otra manera. Elija dos palos, elija las cinco cartas de estos dos palos y reste las formas que dan un solo palo: $$\binom{4}{2}\left(\binom{26}{5}-\binom{2}{1}\binom{13}{5}\right)=379236$$

Answer 2

Sus casos 1 y 2 son correctos, por lo que el número total de manos que satisfacen la propiedad en cuestión es $\binom{4}{1} \binom{13}{1} \binom{3}{1} \binom{13}{4} + \binom{4}{1} \binom{13}{2} \binom{3}{1} \binom{13}{3}$ .

No es necesario multiplicar nada por 2. Es cierto que las selecciones de los trajes de los grupos grandes y pequeños no son independientes, pero sea cual sea la elección para el primero (de 4 formas posibles), habrá 3 opciones para el segundo.