¿Qué tipo de probabilidad es ésta?

Question

Contexto Llevo un tiempo preguntándome cómo podría llamarse este tipo de problema, y he llegado a una representación algorítmica, que no estoy seguro de que sea correcta - ¿alguien puede arrojar algo de luz sobre esto para mí? Intentaré dar un escenario simplificado que evite el caso de uso técnico...

Escenario Tienes dos cerdos que son buenos para encontrar trufas. El cerdo A encuentra una correctamente el 40% de las veces. El cerdo B encuentra una correctamente el 30% de las veces. Llevas a los cerdos a un bosque y los pones a trabajar durante el día. Suponiendo que haya trufas que encontrar, ¿cuál es la probabilidad de que entre los dos descubran al menos una trufa al final del día?

Mis razones Anteriormente lo he representado de la siguiente manera, que podría ampliarse para tantos "cerdos" como tengas en tu equipo de caza de trufas. $P$ es la probabilidad total de éxito y $p_i$ son las probabilidades de éxito de los cerdos individuales:

$$P = 1-\prod_{i}(1 - p_i)$$

Para el ejemplo concreto con los dos cerdos que presento arriba tenemos $P = 1 - ( (1 - 0.3) \times (1 - 0.4) ) = 0.58$

Para mí, esto significa que cuantos más cerdos tengas con ciertas habilidades para la caza de trufas, más probable será que encuentren una trufa en equipo.

Mi(s) pregunta(s)

• ¿Esta formulación es adecuada para el problema?
• ¿Cómo se llama la fórmula anterior, para saber más sobre sus aplicaciones?
• ¿Cómo se llama este tipo de problema de probabilidad?

Muchas gracias por su tiempo.

Answer 1

• El razonamiento y la fórmula son correctos. Bien hecho.
• No existe un nombre concreto para esta fórmula, o al menos yo no lo he oído.
• Tampoco existe un nombre para este tipo de problemas de probabilidad. Ni siquiera reconocería un tipo. Si yo tenía para decir algo sólo diría "un problema básico de probabilidad"

Sin embargo, la descripción del problema necesita algo de trabajo. En particular, esta frase es imprecisa:

El cerdo A encuentra correctamente un 40% de las veces

He aquí algunas interpretaciones, para que se hagan una idea. Se nos pueden ocurrir muchas más:

• Cada vez que un cerdo examina una raíz (que puede ser una trufa o no) acierta el 40% de las veces
• Cada lugar que el cerdo examina encuentra trufas con una probabilidad del 40%.
• El cerdo encuentra trufas con un 40% de probabilidad cada vez que va a una expedición de tiempo fijo (digamos un día)

Por su análisis parece que se refiere a la última opción, pero esto no es evidente en absoluto. Así que hay que tener un cuidado extra para ser claro al formular el problema.

Otra omisión importante es la afirmación de que los cerdos son independientes en su búsqueda de trufas. De nuevo, no es evidente en absoluto (y probablemente no sea cierto en la práctica). Hay que decirlo explícitamente. Tu solución sólo es válida si los cerdos son independientes.

Finalmente esta frase:

Suponiendo que haya trufas que encontrar,

parece superfluo. Si no es superfluo cambia el problema. ¿Insinúas, por ejemplo, que el lugar donde se buscan las trufas juega un papel importante? Por supuesto que sí en la práctica, pero ¿quieres modelar esto en la formulación de tu problema? Si es así, entonces también necesitamos una probabilidad a priori de que el lugar donde los cerdos buscan tenga trufas. Si esto no importa, no lo mencione en absoluto.

Answer 2

Puede indicar $X_1$ para ser la variable aleatoria discreta que representa si un cerdo encuentra correctamente las trufas con probabilidad $p=0.4$ y no encontrar trufas con probabilidad $q=1-p=0.6$ . Entonces para $n$ cerdos, suponiendo que los cerdos actúan de forma independiente, se puede introducir la variable aleatoria $X= X_1+\cdots+X_n$ . Desde $X_1$ se distribuye como Bernoulli, entonces la suma $X= X_1+\cdots+X_n$ es una variable aleatoria binomial con los parámetros n y p. Donde Let $X_1,X_2,\ldots ,X_n$ son variables aleatorias independientes de Bernoulli.

Answer 3

Las especificaciones técnicas nunca deben quedar fuera de la lógica.

línea numérica coloreada con un 40% de rojo, un 30% de verde y un 30% de negro que representa eventos mutuamente excluyentes que suman el 100%

Una "cuadrícula" de 10 por 10 hecha usando 4 cuadrículas separadas, coloreadas de tal manera que el verde (cuadrícula de 4 por 3) es la superposición de eventos independientes A encuentra una trufa, y B encuentra una trufa, El rojo representa que B encuentra una trufa, pero A no (cuadrícula de 3 por 6), el azul (cuadrícula de 4 por 7) representa que A encuentra una trufa, pero B no, y el negro (cuadrícula de 7 por 6) representa que ni A ni B encuentran una trufa. Está bien una ligera inexactitud en su creación.

También podríamos tener la probabilidad condicional , que se parece a la segunda imagen de arriba, excepto, La probabilidad de A dado B no sería la misma área porcentual que la probabilidad de A dado (no B).

Su formulación es la segunda imagen de arriba. aka eventos independientes. En teoría llega al 100%, pero con la condición de que todos los sucesos sean independientes de todos los subconjuntos de sucesos anteriores. Si no, entonces es una probabilidad condicional.