Sea $\hat{x} = x$ y $\hat{p} = -i \hbar \frac {\partial} {\partial x}$ los operadores de posición y momento, respectivamente, y $|\psi_p\rangle$ sea la función propia de $\hat{p}$ y, por lo tanto, $$\hat{p} |\psi_p\rangle = p |\psi_p\rangle,$$ where $#%p$ is the eigenvalue of $\hat{p}$. Then, we have $$ [\hat{x},\hat{p}] = \hat{x} \hat{p} - \hat{p} \hat{x} = i \hbar.$#psi_p|$ From the above equation, denoting by $$ an expectation value, we get, on the one hand $$\langle i\hbar\rangle = \langle\psi_p| i \hbar | \psi_p\rangle = i \hbar \langle \psi_p | \psi_p \rangle = i \hbar$$ and, on the other $$i \hbar = 0$#%#%%#%#%# (\hat{x}\hat{p} - \hat{p}\hat{x}) |\psi_p\rangle = \langle\psi_p|\hat{x} |\psi_p\rangle p - p\langle\psi_p|\hat{x} |\psi_p\rangle = 0$$ Esto sugiere que %#%#%. ¿Qué salió mal?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Craig Thone
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Creo que la paradoja es el hecho de que $\hat{p}$ no es un operador hermitiano en la representación $x$ en el sentido estricto $ \langle \alpha |\hat{p} | \beta\rangle \neq \langle \beta |\hat{p} |\alpha \rangle^* $ en la representación $x$. Luego seguimos de cerca la acción de $\hat{p}$, $ \langle x |\hat{p} |\alpha \rangle =-i\hbar \frac{\partial}{\partial x} \langle x |\alpha \rangle$.
$$\langle x | \hat{x} \hat{p}-\hat{p}\hat{x} |x \rangle =\langle x | \hat{x} \hat{p} |x \rangle -\langle x | \hat{p}\hat{x} |x \rangle=x\langle x | \hat{p} |x \rangle +i\hbar \frac{\partial}{\partial x} \langle x |\hat{x} |x\rangle $$ $$=x (-i\hbar) \frac{\partial}{\partial x}\delta(0)+i\hbar \frac{\partial}{\partial x} x\delta(0)=i\hbar $$
