¿Cómo calcularía la función de trabajo de un metal?

Question

En el efecto fotoeléctrico, la función de trabajo es la cantidad mínima de energía (por fotón) necesaria para expulsar un electrón de la superficie de un metal. ¿Es posible calcular esta energía a partir de las propiedades atómicas del metal (número atómico, masa atómica, configuración electrónica, etc.) y las propiedades de la estructura de la red, de una manera que no requiera un modelo computacional complejo? (Si es así, ¿cómo?) ¿O, si no es posible, hay una fórmula simple en términos de las propiedades atómicas/ de la red del metal que pueda aproximarlo dentro de unos pocos por cientos?

Answer 1

No puedes obtenerlo solo a partir de las propiedades atómicas, las propiedades electrónicas de un metal están dominadas por consideraciones del tipo "estado sólido", por ejemplo, el hecho de que los electrones viven en una estructura de bandas en lugar de algo más parecido a los niveles discretos habituales que se aprenden en la Mecánica Cuántica 1.

Afortunadamente, el libro clásico de Ashcroft y Mermin tiene una larga discusión sobre la función de trabajo en el capítulo 18.

Su fórmula es $W=-\epsilon_F+W_s$, donde $\epsilon_F$ es la energía de Fermi, una cantidad determinada por la densidad de electrones y las propiedades del enrejado cristalino del metal; puedes calcular aproximaciones razonables para esto para los metales alcalinos usando la aproximación de electrones libres. $W_s$ es una cantidad relacionada con los efectos de la superficie; para este término Ashcroft y Mermin dan un modelo con un momento dipolar por unidad de área de $P$, de modo que $W_s=-4\pi e P$.

No estoy seguro de si realmente se puede llegar "dentro de unos pocos por ciento" con técnicas tan crudas, pero definitivamente es algo calculable. En particular, obtener una buena aproximación se reduce a dos cosas, 1) entender la estructura de bandas del metal para que puedas calcular $\epsilon_F$ con precisión 2) tener un buen modelo para la superficie del metal.

Hay una complicación aquí sobre cómo se define $\epsilon_F$. No se puede simplemente usar la expresión habitual $\epsilon_F=\hbar^2k_F^2/2m$ ya que se necesita agregar un término correspondiente a la energía electrostática de los iones, algo así como las constantes de Madelung.

Nuevamente, recomiendo el libro de Ashcroft y Mermin para esto (y cualquier otra pregunta un poco más allá de lo básico que puedas tener sobre cómo pensar en los electrones en metales y semiconductores).

Por simple curiosidad, investigué un poco en la literatura para ver lo que los investigadores han hecho.

En 1971, Lang y Kohn lograron obtener funciones de trabajo de metales simples a aproximadamente un 5% y de metales nobles a un 15%. Creo que sería posible reproducir estos cálculos hoy en día bastante fácilmente.

Un artículo más reciente (2005) de Da Silva, Stampfl y Scheffler utiliza cálculos de primeros principios de todos los electrones, en contraposición a los cálculos de pseudopotencial ajustado más empíricos que usaron Lang y Kohn. Mi impresión al echar un vistazo a los datos es que solo obtienen un acuerdo marginal con el experimento; en particular, noté que los valores experimentales parecen tener bastante variabilidad en ellos, lo que es consistente con el hecho de que la función de trabajo depende fuertemente de las propiedades de la superficie, que son difíciles de hacer consistentes.

Por ejemplo, para Aluminio a lo largo del plano cristalino 1 1 1, sus cálculos dan 4.21eV, en comparación con valores experimentales de 4.48, 4.24 y 4.33.

En comparación, el cálculo de 1979 de Lang y Kohn dio 4.05 eV y citaron un valor experimental de 4.19 eV.

Aparentemente, la última gran revisión sobre el cálculo de funciones de trabajo de los metales es esta de Hözl et al. de 1979. Aunque no lo he leído.

Answer 2

Para calcular una función de trabajo dependiente de las propiedades del metal, el método tradicional es calcular la densidad de corriente electrónica $j_{z}$ utilizando la ecuación de Richardson-Dushman para la emisión termoiónica, que es

$$j_{z}=BT^{2}e^{-\frac{W}{K_{B}T}}$$

donde $W$ es la función de trabajo del metal, $T$ es la temperatura termodinámica del metal, $B$ es una constante calculada como $1.20173 X 10^{6} \text{A} m^{-2}K^{-2}$. Consulta más información sobre la constante $B en el artículo de emisión termoiónica en Wikipedia.

Luego, trazar $\ln\bigg|\displaystyle \frac{j_{z}}{T^{2}}\bigg|$ contra $\displaystyle\frac{1}{K_{B}T}$ produce una línea recta con una pendiente de $-W$. Esa es la forma en la que se calculan la mayoría de las funciones de trabajo.

La distribución de electrones se considera en la derivación de la ecuación de Richardson-Dushman utilizando la estadística de Fermi-Dirac.