Suma de dos variables binomiales independientes

Question

¿Cómo puedo demostrar formalmente que la suma de dos variables binomiales independientes X e Y con el mismo parámetro p también es binomial?

Answer 1

Sea $(B_k)_k$ una secuencia de variables aleatorias iid Bernoulli distribuidas con $P(B_k=1)=p$ para $k=1,2,\dots$

Entonces $$X:=B_1+\cdots+B_n$$ está distribuido de forma binomial con parámetros $n,p$ y $$Y:=B_{n+1}+\cdots+B_{n+m}$$ está distribuido de forma binomial con parámetros $m,p$. Es evidente que $X$ e $Y$ son independientes.

Ahora, date cuenta de que $$X+Y=B_1+\cdots+B_{n+m}$$ está distribuido de forma binomial con parámetros $n+m,p$.

Esto te ahorra cualquier cálculo.

Answer 2

Solo calcula. Suponte que $X \sim \def\Bin{\mathord{\rm Bin}}\Bin(n,p)$, $Y \sim \Bin(m,p)$. Ahora, sea $0 \le k \le n+m$, entonces \begin{align*} \def\P{\mathbb P}\P(X+Y = k) &= \sum_{i=0}^k \P(X = i, Y = k-i)\\ &= \sum_{i=0}^k \P(X=i)\P(Y=k-i) & \text{por independencia}\\ &= \sum_{i=0}^k \binom ni p^i (1-p)^{n-i} \binom m{k-i} p^{k-i} (1-p)^{m-k+i}\\ &= p^k(1-p)^{n+m-k}\sum_{i=0}^k \binom ni \binom m{k-i} \\ &= \binom {n+m}k p^k (1-p)^{n+m-k} \end{align*} Por lo tanto, $X+Y \sim \Bin(n+m,p)$.

Answer 3

Otra forma: Supongamos que $X\sim$ Bin$(n, p)$ e $Y\sim$ Bin$(m, p)$. La función característica de $X$ es entonces $$\varphi_X(t) = E[e^{itX}]=\sum_{k=0}^ne^{itk}{n\choose k}p^k(1-p)^{n-k}=\sum_{k=0}^n{n\choose k} (pe^{it})^k(1-p)^{n-k}=(1-p+pe^{it})^n.$$

Dado que $X, Y$ son independientes, $$\varphi_{X+Y}(t)=\varphi_{X}(t)\varphi_Y(t)=(1-p+pe^{it})^n(1-p+pe^{it})^m=(1-p+pe^{it})^{n+m}.$$

Por unicidad, obtenemos $X+Y\sim$ Bin$(n+m, p)$.

Answer 4

Podemos demostrar esto utilizando la función generadora de momentos de la siguiente manera si alguien no se siente cómodo con las funciones características como se respondió anteriormente:

Sean $X \sim B(n_1,p_1)$ e $Y \sim B(n_2,p_2)$ variables aleatorias independientes.

Sabemos que la función generadora de momentos de la distribución binomial es la siguiente:

$M_X(t)=(q_1+p_1e^t)^{n_{1}}, M_Y(t)=(q_2+p_2e^t)^{n_{2}}$

Dado que X e Y son independientes

$M_{X+Y}(t)=M_X(t) \cdot M_y(t) = (q_1+p_1e^t)^{n_{1}} \cdot (q_2+p_2e^t)^{n_{2}}$

Vemos que no podemos expresarlo en la forma $(q+pe^t)^{n}$ y así, por la propiedad de unicidad de la función generadora de momentos, $X+Y$ no es una variable binomial. Sin embargo, si tomamos $p_1=p_2=p$ entonces tenemos:

$M_{X+Y}(t)=M_X(t) \cdot M_y(t) = (q+pe^t)^{n_{1}} \cdot (q+pe^t)^{n_{2}}$ $=(q+pe^t)^{n_{1}+n_{2}}$

que es la función generadora de momentos de la variable binomial con parámetros $(n_1+n_2,p)$