Familia continua de isometrías en un espacio de Hilbert que se reduce a $0$

Question

Dejemos que $H$ sea un espacio de Hilbert separable de dimensión infinita. Me gustaría construir explícitamente una familia de operadores acotados, $(W_t)_{t\in(0,1]}$ con cada $W_t:H\rightarrow H$ siendo una isometría, con las siguientes propiedades:

1. $W_t$ es continua en la topología del operador fuerte;
2. $W_1=id_H$ ;
3. $\lim_{t\rightarrow 0}(W_t W_t^*)=0,$

donde el límite se toma en la topología del operador fuerte.

Observación: Que es posible construir tal familia $W_t$ es algo que encontré en un artículo, aunque los autores no dieron una prueba. Veo que la dimensión infinita de $H$ debe ser importante aquí, y la idea correcta parece ser construir de alguna manera $W_t$ para que la imagen de $W_t$ en función de $t$ se reduce a medida que $t\rightarrow 0$ . Pero parece que es difícil hacer esto explícitamente y también satisfacer la condición de continuidad.

Answer 1

Identificar $H$ con $L^2(\mathbb{R}_+,dm)$ , donde $dm$ es la medida de Lebesgue. Definir las isometrías $(R_s)_{s \in \mathbb{R}_+}$ por $$ R_s(f)(t) = \begin{cases} f(t - s) & \mbox{ when } t \geq s\\ 0 &\mbox{ otherwise }\end{cases} $$ Entonces $R_0$ es la identidad y $P_s = R_s \, R_s^\ast$ es la proyección dada al multiplicar por $\chi_{[s,\infty)}$ Por lo tanto, va a $0$ en la topología SOT como $s \to \infty$ . Para obtener su $W_t$ simplemente hacer un cambio continuo de envío de variables $1$ a $0$ y $0$ a $\infty$ .