Convolution y transformada de Laplace

Question

Me preguntaba por qué usar la convolución da un resultado diferente:

Encuentra la transformación de Laplace de $e^t\sin t$.

Usando la convolución:

$1/s-1 *1/s^2-1$

usando la tabla: $1/(s-1)^2-1$

Answer 1

Usando la convolución, para $f(t) = e^{t},~ g(t) = \sin t$, tenemos

$$(f * g)(t) = \displaystyle \int_0^t e^{\tau} ~\sin(t - \tau)~d \tau = \dfrac{1}{2}(e^{t} + \sin t - \cos t)$$

Calcula la Transformada de Laplace de ese resultado de convolución.

Luego, nota que (comparado con el resultado anterior)

$$\mathcal{L}(f * g) = \mathcal{L}(f)~\mathcal{L}(g) = F(s)~G(s) = \frac{1}{s-1} ~ \frac{1}{s^2+1}$$

Actualización

Por último

$$\mathcal{L} (e^t \sin t) = \dfrac{1}{(s-1)^2+1}$$

Derivamos esto utilizando métodos completamente diferentes a los anteriores, por ejemplo, utilizando la definición de la Transformada de Laplace, tenemos

$$\mathcal{L}(e^t \sin t) = \displaystyle \int_0^{\infty} e^{-s t} f(t) dt = \int_0^{\infty} e^{-s t} (e^t \sin t)~dt = \dfrac{1}{s^2-2 s+2}$$

También podemos usar el ítem $19.$ de la Tabla de Laplace, tenemos

$$\mathcal{L} (e^{at} \sin (b t)) = \dfrac{b}{(s-a)^2 + b^2 } = \dfrac {1}{(s-1)^2 + 1^2 } = \dfrac {1 }{(s-1)^2 + 1 } = \dfrac{1}{s^2-2 s+2}$$

¿Ahora entiendes por qué estás teniendo problemas? En un caso, estamos encontrando la Transformada de Laplace de la convolución de dos funciones y en el otro, estamos encontrando la Transformada de Laplace del producto de dos funciones y estas son cosas diferentes.

Answer 2

En un presentimiento de que tal vez OP estaba confundido acerca de $\displaystyle \mathcal{L}(e^t \sin t)\:$ y $\:\displaystyle \mathcal{L}(e^t * \sin t)$.

La operación de convolución $\:\displaystyle e^t * \sin t \:$ no es lo mismo que la operación de multiplicación $\displaystyle e^t \sin t\:$.

La convolución $\: f * g \:$ tiene una definición propia, en forma de una integral:

$$f * g = \int_0^t f(t)g(t-\tau) d \tau$$ Si $\:f = e^t \:$ y $\:g = \sin t \:$ entonces \begin{align} fg &= e^t \sin t \qquad \qquad \text{(Multiplicación)}\\ f*g &= \frac{1}{2}(e^t + \sin t - \cos t) \qquad \text{(Convolución)} \end{align} Las dos funciones anteriores $fg$ y $f*g$ se generan a partir del mismo conjunto, pero ahora son funciones totalmente diferentes.

Esto responde a tu pregunta sobre por qué $\displaystyle \mathcal{L}(e^t \sin t)\:$ es diferente de $\:\displaystyle \mathcal{L}(e^t * \sin t)$.

Una propiedad de la convolución es: $\quad\displaystyle \mathcal{L}(e^t * \sin t) = \mathcal{L}(e^t) \mathcal{L}(\sin t)=\displaystyle \frac{1}{s-1} \frac{1}{s^2-1}$.

El RHS es una multiplicación ordinaria y no "$*$". Ten en cuenta que lo mismo no se cumple para la multiplicación, es decir, $\displaystyle \mathcal{L}(e^t \sin t) \neq \mathcal{L}(e^t) \mathcal{L}(\sin t)$. Debes usar el teorema de Integración o de Translación para calcular $\displaystyle \mathcal{L}(e^t \sin t) $