Por qué iba yo a querer saber (equivariant) quantum cohomology?

Question

Digamos que tengo una variedad creo que es interesante, y se basa en unos papeles, no entiendo, me pueden calcular de manera bastante explícita su equivariant cuántica cohomology en términos de fórmulas explícitas para multiplicar por un grado 2 de la clase.

Siendo algo de un recién llegado a la cuántica cohomology, soy realmente un poco inseguro de lo interesante que un resultado es este, y tiene dudas acerca de cómo escribir un documento cuyo contenido es "El quantum cohomology de la variedad X es bla".

Se me dirá nada particularmente interesante? Podría haber fresco implicaciones integrable en sistemas o algo por el estilo?

Answer 1

Hola, yo no soy realmente un experto en este campo, pero creo que (equivariant) quantum cohomology de los anillos tiene una muy bonita la combinatoria y mostrar en muchos lugares. Yo unos meses estaba por terminar un papel (en conjunto con Christian Korff), que conecta a el de alguna manera completamente entendido cuántica cohomology de la Grassmannian con el Verlinde álgebra (que para mí es la fusión de álgebra de cierta inclinación de los módulos para un quantum de grupo en una raíz de la unidad).

Eche un vistazo a arXiv:0909.2347!

De hecho hay una gran cantidad de conexiones con sistemas integrables. En nuestro trabajo buscamos de alguna manera, en un sistema muy fácil de situación: tomar el afín diagrama de Dynkin para afín sl(n) (que significa un círculo con n puntos!) A continuación, considere la posibilidad de la integración del sistema donde usted puede colocar partículas n lugares. "Bosonic" que significa sin embargo muchas desea o "fermionic" lo que significa que a más de uno en cada lugar. Ahora hay la operación de movimiento de una partícula en el siguiente lugar. Esto define lineal de mapas en el espacio de todas las partículas confugurations fijación del número total de partículas. A continuación, definimos Schur functors donde las variables son estos (no de trabajo) de los operadores.

Ahora el quantum cohomology de la Grassmannian Gr(k,n+k) tiene una base de la cual podemos identificar con ciertas particiones o con fermionic de partículas de configuraciones en un (n+k)-círculo con los k partículas.

Mientras que la fusión de álgebra en el nivel k tiene una base que a su vez puede ser identificado con ciertas particiones o con bosonic de partículas de configuraciones en un n-círculo.

Lo curioso es que ahora la multiplicación en cualquiera de los anillos es dado por a*b=Schur poli a ver como un operador aplicado a la b.

Este desription de quantum cohomology fue encontrado por Postnikov de un par de años atrás, pero él no conectar a este integrable sistema. Toda la cosa convence y hace explícita una vieja resultado debido a Witten, Gepner, Vafa y Intrilligator que la fusión del anillo de gl(n) en el nivel k es isomorfo a la cuántica cohomology de la Grassmannian Gr(k,n+k) cuando estamos especializados q a 1.

Así que ya esta muy aburrido Bebé-ejemplo algo interesante muestra, así que supongo que realmente se debería estudiar todo tipo de equivariant cohomology de los anillos!

Answer 2

Puede que ya haya encontrado una respuesta por ahora, pero todavía me deja agregar mi motivación para el sujeto. La razón por la que estoy interesado en quantum cohomology es que estoy pensando como la versión correcta de semi-infinito cohomology del bucle espacio de la variedad en cuestión (este punto de vista, por cierto, es a veces muy útil para adivinar la respuesta). Personalmente creo que la definición de quantum cohomology bastante feo, pero geométrica teoría de la representación de este tipo de fenómeno es bien conocido: una manera de hacer "semi-infinita de la geometría", que formalmente no está claro cómo abordar, está trabajando con la curva global ${\mathbb P}^1$ en lugar de la formal disco. Por ejemplo, uno puede desarrollar más bien no trivial de la teoría de la "semi-infinita de la bandera de variedades" el uso de los espacios de cuasi-mapas, que se define mediante mundial de la ${\mathbb P}^1$. Yo especie de considerar esto como una similar el fenómeno de por qué cuántica cohomology (que se supone es un objeto local) se define a través de una curva.

Más "física" explicación de la anterior fenómeno es esta: en 2-dimensiones de conformación la teoría de campo sucede muy a menudo que algunos de género 0 correlators realmente coinciden con algunos objetos (como los coeficientes de la OPE y esas cosas). Un ejemplo de esto es el Kazhdan-Lusztig producto tensor para las representaciones de afín álgebras de Lie. En realidad, es un local cosa, pero la Kazhdan-Lusztig definición pasa a través de coinvariants en global ${\mathbb P}^1$.

Permítanme concluir diciendo que, mientras que el "global" enfoque a menudo es útil, porque esa es la única manera de definir las cosas regorously, el precio que hay que pagar por esto es que la hecho de que los cálculos se vuelven más difíciles y misteriosos. Quantum cohomology es probablemente un buen ejemplo de esto, muchas de las respuestas que hay que ser mucho más comprensible cuando se piensa en términos de bucle de espacios.

Answer 3

De manera más general, ¿por qué sería de nosotros (los matemáticos, no físicos) quieren saber nada acerca de cualquier Gromov-Witten invariantes? Para mí, son sólo interesante invariantes de variedades/variedades. La estructura de Gromov-Witten invariantes es muy rica e interesante por su propia cuenta.

Tal vez su cálculo puede decir algo interesante sobre otra variedad, a través de la simetría de espejo. Y sí, es a menudo el caso de que Gromov-Witten invariantes de hacer contacto con la integración de los sistemas, pero parece que tengo la impresión de que la mayoría de las veces, las aplicaciones van en la dirección de integrar los sistemas de ayudar a nuestra comprensión de Gromov-Witten teoría --- por ejemplo, Witten la conjetura, Virasoro conjetura --- en lugar de la otra manera alrededor.

Otra cosa es que, desde Gromov-Witten invariantes no son realmente enumerativa de los invariantes, a veces puede ser interesante tratar de relacionarlos con "real" enumerativa de los invariantes. Además, hay diversas preguntas acerca de la relación entre Gromov-Witten invariantes y otros "enumerativa" invariantes como Donaldson-Thomas invariantes. A veces hay también conexiones con cosas como la matriz de los modelos. Por ejemplo, este papel de Okounkov-Pandharipande se relaciona Hurwitz números ("real" enumerativa de los invariantes), el Gromov-Witten teoría de la P^1, y la matriz de los modelos. Okounkov y Pandharipande han escrito muchos papeles a lo largo de las líneas de "el quantum cohomology de X es bla" o "el Gromov-Witten teoría de la X es bla".

Answer 4

Equivariant cuántica cohomology de Grassmannians (presumiblemente no su variedad) está estrechamente relacionado con equivariant ordinario cohomology de 2-paso de la bandera de los colectores. Eso es algo de justificación, para mí...