Denote $p$ un número primo y $\mathbb Z _p$ el anillo de $p$ -enteros. Tenemos un homomorfismo canónico de anillo inyectivo $:\mathbb Z \rightarrow \mathbb Z_p$ para todos $p$ . Pero $\mathbb Z$ no es el anillo más grande que se asigna a todos los $\mathbb Z_p$ . Consideremos, por ejemplo, el anillo de todas las series formales $$ F := \left\{ \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot n! \; ,\; 0\leq a_n\leq n \right\}. $$ Desde $(n!)_n$ converge $p$ -adicalmente a cero para cada $p$ esto da un morfismo canónico $\phi_p: F\rightarrow \mathbb Z_p$ .
Debo admitir que $\phi_p$ no es inyectiva, pero la intersección $\bigcap\limits_p \ker \phi_p$ es cero. Entonces, lo que se sabe sobre los anillos $R$ que contiene $\mathbb{Z}$ y tener morfismos "canónicos" $\phi_p:R\rightarrow \mathbb Z_p$ con $\bigcap\limits_p \ker \phi_p=0$ ?
Para empezar, si $x\in R$ es un elemento que satisface una ecuación polinómica con coeficientes en $\mathbb Z$ entonces $x\in \mathbb Z$ (por el teorema chino del resto teorema chino). Así que $R$ debe ser una extensión trascendental de $\mathbb Z$ .
¿Existe un anillo máximo o una buena noción de "elemento máximo" de tales anillos? (Por ejemplo, un anillo $R'$ con una inyección $:R\rightarrow R'$ haciendo todo $\phi_p$ -diagramas conmutativos).
