problema de optimización por métodos de espacio convexo

Question

Dada una función $x \in L_2[0, 1]$ buscamos un polinomio $p$ de grado $n$ o menos, lo que minimiza $\int_{0}^{1}|x(t) - p(t)|^2dt$ mientras se satisface el requisito $\int_{0}^{1}p(t)dt = 0$ .

(a) Demuestre que este problema tiene una solución única.

(b) Demuestre que este problema se puede resolver encontrando primero el polinomio $q$ de grado $n$ o menos, lo que minimiza $\int_{0}^{1}|x(t) - p(t)|^2dt$ y luego encontrar $p$ de grado $n$ o menos, lo que minimiza $\int_{0}^{1}|q(t) - p(t)|^2dt$ mientras se satisface $\int_{0}^{1}p(t)dt = 0$ .

Solución:

He intentado utilizar el teorema de la proyección sobre un espacio de Hilbert L_2[0, 1] para intentar demostrar la parte a) pero no estoy seguro de que sea suficiente para demostrar la parte B.

Fuente: Optimización por métodos de espacio vectorial (Ch.3, prob 6)

Answer 1

Esta respuesta es un poco exagerada, el resultado al final generaliza un poco la respuesta de jing007.

Dejemos que $P_n$ sean los polinomios de grado $n$ o menos. Tenga en cuenta que $P_n$ es un subespacio de dimensión finita y, por tanto, cerrado. Sea $\Pi$ sea la proyección ortogonal sobre $P_n$ Es decir $\Pi x \in P_n$ es la única solución de $\min_{p \in P_n} \|x-p\|$ . La proyección es lineal y autoadherente.

Dejemos que $Z = \{x | \int_0^1 x(t) dt = 0 \} = \{1\}^\bot$ , donde $1$ denota la función $1(t) = 1$ para todos $t$ . Por lo tanto, $Z$ es un subespacio cerrado. Sea $N x$ sea la proyección ortogonal sobre $Z$ , tenga en cuenta que $Z$ es lineal, autoadjunto y tenemos la fórmula $Nx = x-\int_0^1 x(t)dt$ .

Desde $P_n \cap Z$ es un subespacio cerrado, existe una proyección ortogonal proyección ortogonal sobre $P_n \cap Z$ Esto responde a (a).

Tenga en cuenta que $x - \Pi x \in P_n^\bot \subset \{1\}^\bot$ y así $x - \Pi x \in Z$ Es decir $\int_0^1 x(t) dt = \int_0^1 (\Pi x)(t)dt$ .

Tenemos $\Pi N x = \Pi x - \Pi \int_0^1 x(t) dt = \Pi x - \int_0^1 (\Pi x)(t) dt = N \Pi x$ y así $\Pi, N$ de viaje.

Por lo tanto, $\Pi N = N \Pi$ es una proyección ortogonal sobre $P_n \cap Z$ (ver Proyección ortogonal y dos subespacios por ejemplo). En particular, la proyección deseada puede calcularse aplicando $\Pi, N$ en cualquier orden. Esto responde a (b).

Anexo :

Si $C$ es un conjunto convexo cerrado, entonces para cada $x$ hay un único punto $N_C(x)$ que resuelve $\min_{c \in C} \|x-c\|$ . $N_C(x)$ es se llama la proyección de $x$ en $C$ .

Si $C$ es un subespacio cerrado, entonces podemos demostrar que $x \mapsto N_C(x)$ es lineal y es una proyección ortogonal (sobre $C$ ) en el sentido habitual en el sentido habitual de los operadores lineales.

En lo anterior, tenemos $\Pi x = N_{P_n}(x)$ y $N x = N_Z(x)$ .

Una caracterización muy útil para un subespacio cerrado $C$ es que $p$ es el punto más cercano en $C$ a $x$ si $p \in C$ y $p-x \in C^\bot$ .

Resultado útil :

He aquí un resultado útil y geométricamente satisfactorio que aborda la cuestión.

Supongamos que $C$ es un conjunto convexo cerrado y $A$ es un conjunto afín cerrado que contiene $C$ (en particular, cualquier subespacio cerrado es afín). Entonces $N_C(x) = N_C(N_A(x))$ .

Es decir, el punto más cercano se puede calcular proyectando sobre un conjunto afín que contiene $C$ primero y luego proyectando el punto resultante sobre $C$ . (La proyección sobre espacios o subespacios afines es a menudo un cálculo más sencillo).

Para demostrarlo, hay que tener en cuenta que para cualquier conjunto convexo cerrado $K$ tenemos $p = N_B(x)$ si $\langle x-p,p-b \rangle \le 0$ para todos $b \in B$ .

Dejemos que $a = N_A(x)$ y $c = N_C(N_A(x))$ , entonces para $c' \in C$ tenemos

$$\begin{eqnarray} \langle x-c,c-c' \rangle &=& \langle x-a + a-c,c-c' \rangle \\ &=& \langle x-a,c-c' \rangle + \langle a-c,c-c' \rangle \\ &=& \langle a-c,c-c' \rangle \\ &\le& 0 \end{eqnarray}$$ De ello se deduce que $c=N_C(x)$ .

Para aplicar a la pregunta, tome $C = P_n \cap Z$ , $A = P_n$ .

Tenga en cuenta que esta conclusión no es tan fuerte como la respuesta anterior.

Answer 2

Dejemos que $U = \{p \in L^2[0,1] : \text{polynomials with degree less or equal to $ n $}\}$ . $U$ es de dimensión finita y, por tanto, es cerrado. Sea $V = \{p \in U : \int_{0}^1 p(t) dt =0\}$ . Fácil de comprobar $V$ es un subespacio de $U$ y por lo tanto es de dimensión finita y $V$ también es cerrado. Ahora, por el teorema de la proyección, para cualquier $x \in L^2[0,1]$ existe un único vector minimizador $q \in V$ es decir $\|x-q\| \le \|x - p\|$ para cualquier $p \in V$ .

En la parte b, se nos da $q \in U$ , $p \in V$ y $$\begin{align} x-q \perp U \qquad q-p \perp V. \label{eq:cond1} \end{align}$$ Basta con mostrar $x - q \perp V$ ya que por el teorema de la proyección $q$ minimiza $\|x-p\|$ . Ahora escribimos la condición anterior explícitamente $$\begin{align*} \forall q' \in U, \; \langle x-q, q'\rangle = 0 \\ \forall p' \in V, \; \langle q-p, p'\rangle = 0 \end{align*}$$ Elegimos cualquier $p_0 \in V$ . Desde $V$ es un subespacio y $p \in V$ , $p - p_0 \in V \subseteq U$ . Entonces tenemos $$\begin{align} \langle x-q, p-p_0\rangle = 0 \label{eq:cond2}\\ \langle p-q, p-p_0\rangle = 0 \label{eq:cond3} \end{align}$$ Tomando la diferencia, tenemos $$\begin{align*} \langle x-p, p-p_0\rangle = 0 \end{align*}$$ Desde $p_0$ es un elemento arbitrario en $V$ La condición anterior es equivalente a $$\begin{align*} x-p \perp V \end{align*}$$