¿Por qué un modelo AR(1) con reversión a la media vuelve a B0 en lugar de B0 + B1*B0?

Question

En el análisis de series temporales, un AR $(1)$ modelo toma la forma:

$$x_t = \beta_0 + \beta_1 \cdot x_{t-1} + w_t,$$

donde $w_t$ es el término de ruido blanco.

Para que el modelo sea estacionario y converja a la media, $\beta_1$ debe ser menor que uno. Sin embargo, no entiendo por qué tal modelo converge a B0 en lugar de $\beta_0 + \beta_1 \cdot \beta_0$ . Seguramente, $\beta_1 \cdot \beta_0$ es lo suficientemente grande como para importar incluso si $\beta_1 < 1$ . Puedo ver cómo el resto de los términos se acercan eventualmente a cero a medida que sigues subiendo recursivamente $x_t$ en $x_{t-1}$ para calcular $x_{t+1}$ pero incluso si sigues haciendo esto para calcular $x_{t+\infty}$ siempre hay un $\beta_0 \cdot \beta_1$ plazo.

¿Están mal mis cálculos?

Answer 1

Tomar las expectativas de ambas partes y dejar $\mu \equiv \mathbb{E}(X_t)$ ser la media estacionaria, tienes:

$$\mu = \beta_0 + \beta_1 \mu.$$

Reordenando entonces da:

$$\mu = \frac{\beta_0}{1-\beta_1}.$$