Cómo sabe un subgrupo de Borel qué pesos son dominantes

Question

Sea $G$ sea un grupo simple (por ejemplo $SL_n$ ) y que $B$ sea un subgrupo de Borel (digamos matrices triangulares superiores). Entonces todas las representaciones irreducibles de $G$ se inducen a partir de representaciones unidimensionales de $B$ es decir, caracteres de $B$ . Sin embargo, sólo algunos de los pesos inducirán a representaciones distintas de cero. En relación con el toro maximal estándar de matrices diagonales, estos pesos parecen ser los pesos antidominantes. Sin embargo, $B$ contiene también otros tori, y ninguna opción es canónica.

Mi pregunta es: puesto que la inducción de $B$ no requería la elección de un toroide, ¿cómo es que algunos caracteres de $B$ ¿ya se considera antidominante? ¿Dónde se rompe la simetría?

Answer 1

Uno de los trucos furtivos que se encuentran los teóricos de jugar en los estudiantes es que ellos le dicen acerca de Cartan subalgebras, y luego, en algún momento, de que tire de la manta y le digo "bromeando; realmente debe pensar en el resumen Cartan." El resumen Cartan es un Borel mod sus radical. Usted podría decir: "el que Borel?" pero eso no importa; todos estos cocientes son canónicamente isomorfo (cualquiera de los dos Borels son conjugada, y cualquiera de las dos formas de hacerlos conjugado se diferencian por un elemento de la Borel).

Nota, un Cartan subgrupo de su Mentira álgebra no es canónicamente isomorfo a lo abstracto Cartan; usted tiene que elegir un Borel que contiene Cartan subgrupo de primera. Que es donde la simetría se rompe.

El resumen Cartan tiene una noción canónica de positivos peso: buscar en la acción de la $B/N$ en el cociente de la Mentira álgebra $n/[n,n]$, y los pesos que aparecen no son de su simple raíces (todas positivas raíces puede ser obtenida por la toma de la asociada a la clasificación para la filtración $n\supset [n,n]\supset [n,[n,n]]$). De nuevo, alguna manera de hacer Borels conjugado lleva a estos pesos a los correspondientes de la otra Borel. Así que una vez que has elegido un Borel, puede utilizar el isomorfismo del resumen Cartan a su elegido para obtener un sistema de raíz en su elegido.

EDIT: Como señala Allen a continuación: he aprendido más de esto en el libro de Chriss y Ginzburg.

Usted obtener fundamental coroots por tomar un mínimo de parabolics sobre su Borel (los que se obtienen mediante la adición de una negativa simple de la raíz). Hay un canónica mapa de lo abstracto Cartan de $P/[P,P]$ a de $G$, y hay un único coweight de $P/[P,P]$ ($SL_2$ o $PSL_2$) por lo que la acción en la única raíz simple de espacio ha autovalor 2. La imagen de que es el simple coroot.

Answer 2

B es lo que determina que los pesos son dominantes. Da la opción de máxima toro T, se obtiene un sistema de raíz. Una selección de Borel B, que contiene T proporciona una opción positiva raíces. Esto define la dominante pesos.