Límite inferior de la probabilidad de cola para un máximo de variables aleatorias independientes

Question

Tengo dificultades para resolver un problema de van der Vaart y Wellner (1996). El problema 2.3.2 de la página 120 pide al lector que demuestre:

Para las variables aleatorias independientes $\xi_1, \ldots, \xi_n$ ,

$$ P\left(\max_i |\xi_i| >x\right) \ge \frac{\sum_i P(|\xi_i|>x)}{1 + \sum_i P(|\xi_i|>x)}. $$

Hay una pista: Para $x\ge 0$ , uno tiene $1-x\le \exp(-x)$ y $1-e^{-x}\ge x/(1+x)$ .

No sé cómo empezar a demostrar esta afirmación. Es evidente que la forma $x/(1+x)$ en la pista es la misma que la forma en el lado derecho de la desigualdad, sin embargo no estoy seguro de cómo obtener el $1-e^{-x}$ ahí dentro.

Se agradecerá cualquier consejo o sugerencia sobre cómo solucionar este problema.

Answer 1

Tenga en cuenta que $$ \begin{align*} P\left(\max_i |\xi_i| >x\right)&=1-P\left(\max_i |\xi_i| \leq x\right)\\ &=1-\prod_{i=1}^n(1-P(|\xi_i|> x))\tag{0}\\ &\ge1-\prod_{i=1}^n\exp(-P(|\xi_i|> x))\tag{1}\\ &=1-\exp\left(-\sum_{i=1}^nP(|\xi_i|>x)\right)\\ &\geq \frac{\sum_i P(|\xi_i|>x)}{1 + \sum_i P(|\xi_i|>x)}\tag{2} \end{align*} $$ donde en $(0)$ utilizamos la independencia del $\xi_i$ , en $(1)$ utilizamos el hecho de que $1-x\leq e^{-x} $ para $x\geq 0$ y en $(2)$ utilizamos el hecho de que $1-e^{-x}\geq x/(1+x)$ para $x\geq 0$ .