¿Por qué es $\log(\sqrt{x^2+1}+x)$ impar?

Question

$$f(x) = \log(\sqrt{x^2+1}+x)$ $ no puedo encontrar salida, por qué esta función es impar. Me refiero, por supuesto, muestra su gráfico, es curioso, pero cuando investigué $ $f(-x), no pude encontrar manera de $-\log(\sqrt{x^2+1}+x)$.

Answer 1

If$$f(x) = \log(\sqrt{x^2+1}+x)$ $ entonces $$f(-x) = \log \left(\sqrt{(-x)^2+1}-x\right) = $$ $$ = \log \left((\sqrt{x^2+1}-x)\cdot\frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}+x}\right) = $$ $$ = \log \left(\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}\right) =-\log({\sqrt{x^2+1}+x})=-f(x)$ $

Answer 2

Sugerencia: $(\sqrt{x^2+1}+x)(\sqrt{x^2+1}-x) = 1$.

Answer 3

Tenemos $f(-x) = $\log \left(\frac{(\sqrt{x^2+1}-x)(\sqrt{x^2+1}+x)}{(\sqrt{x^2+1}+x)}\right)=\log\left(\frac{x^2+1-x^2}{\sqrt{x^2+1}+x}\right)=-\log(\sqrt{x^2+1}+x)=-f(x).

Answer 4

Otra cosa para agregar es que la serie de Taylor (de funciones impares, si es que existe) tiene poderes sólo impares

$$ x-{\frac {1} {6}} {x} ^ {3} + {\frac 3:40} {x} ^ {5} + \dots. $$

Answer 5

Esta función es otro comando para mostrar $f(x)=\text{arcsinh}(x)$, siendo el aumento de continua en $[0,\infty]$. Sabemos que $f(x)=\sinh(x)$ es un extraño-una función. $$f(x)=\text{arcsinh(x)}\\sinh(f(x))=x$$ así que si $x\x$ entonces $$\sinh(f(-x))=-x\longrightarrow -\sinh(f(-x))=x\longrightarrow\sinh(-f(-x))=x=\sinh(f(x))$$ entonces $f(-x)=-f(x)$. Esto significa que $f(x)$ es una función impar. Hay otro enfoque diferente para este. Ver en este enlace http://ddmf.msr-inria.inria.fr/1.8/ddmf