$\mathrm{Hom}(V \otimes W, U) \cong \mathrm{Hom}(V, \mathrm{Hom}(U,W))$ ?

Question

Mis notas me piden que confirme el resultado:

$\mathrm{Hom}(V \otimes W, U) \cong \mathrm{Hom}(V, \mathrm{Hom}(U,W))$ como $\mathbb C$ -representaciones de un grupo finito $G$ .

Pero parece que es incorrecto. $\chi_{\mathrm{Hom}(V \otimes W, U)} = \overline{\chi_{V \otimes W}} \chi_U = \overline{\chi_V}\ \overline{\chi _ W} \chi_U$ , mientras que $\chi_{\mathrm{Hom}(V, \mathrm{Hom}(U,W))} = \overline{\chi_V} \chi_{\mathrm{Hom}(U,W)} = \overline{\chi_V} \ \overline{\chi_U} \chi_W$ . Así que parece que $U$ y $W$ debe cambiarse en el lado derecho del isomorfismo.

¿Estoy en lo cierto?

Gracias

Answer 1

Sí, tienes razón. Esta es una versión de adición de homotensores . En lugar de la igualdad de caracteres también se podría escribir un ismorfismo de espacios vectoriales: en una dirección debería enviar $f: V\otimes W \to U$ al mapa que envía $v\in V$ a $w \mapsto f(v\otimes w) \in \hom(W,U)$ .

Answer 2

Una prueba alternativa (para todos los campos es) ${\rm Hom}(X\otimes Y,Z)\cong (X\otimes Y)^*\otimes Z\cong (X^* \otimes Y^*)\otimes Z\cong X^* \otimes (Y^*\otimes Z)\cong {\rm Hom}(X,{\rm Hom}(Y,Z)).$